Bijlage II. Geohydrologische rekenvoorbeelden
Rekenvoorbeeld freatisch grondwater
De eerste case betreft de situatie van een freatische watervoerende laag op een ondoorlatende basis.
[ link ]
Figuur II.1 Freatisch grondwater
Uitgangspunten voorbeeld freatisch grondwater
- bouwputafmetingen: 10 m bij 20 m
- doorstroomde dikte watervoerende laag H: 14 m
- doorlaatfactor k: 4,5 m/dag
- meewerkende poriënvolume: 0,25
- gewenste verlaging: 2 m
Bepaal voor een juiste dimensionering van een bemaling eerst hoe snel de bouwput droog gemalen kan worden en welk debiet daarvoor onttrokken moet worden. Voor de berekening hiervan geldt volgens Theis-Jacob-Edelman.
waarin
| Q 0 | = | onttrekkingdebiet | [m³/dag] |
| ∆h w | = | verlaging op afstand | [m] |
| k | = | gemiddelde horizontale doorlaatfactor | [m/dag] |
| H | = | doorstroomde dikte van het pakket | [m] |
| W(u) | = | logaritmische integraal | [-] |
| µ | = | freatische bergingscoëfficiënt | [-] |
| r | = | afstand tot aan de bemaling | [m] |
| t | = | tijd | [dagen] |
| u | = | Dimensieloze veranderlijke | [-] |
| mv | = | (in figuur II.1) maaiveld | |
| gws | = | (in figuur II.1) grondwaterstand | [m] |
| ob | = | (in figuur II.1) ondoorlatende basis | [-] |
Voor de W(u) functie geldt bovenstaande omrekening. Deze omrekening van W(u) (benadering van Huisman) [25] is alleen geldig bij u < 0,1. Kort na de start van de onttrekking en op grote afstand van de bouwput (kleine verlaging) is deze benadering niet geldig en kan de benadering van Srivastava & Guzman-Guzman (1998) gebruikt worden.
Als de benodigde verlaging na 4, 8 of 12 dagen bereikt is, bereken dan de volgende debieten.
Tabel II.1
| Tijd | u | W(u) | Q 0 |
| 4 dagen | 0,0226 | 3,21 | 493 m³/dag |
| 8 dagen | 0,0113 | 3,91 | 405 m³/dag |
| 12 dagen | 0,0075 | 4,31 | 367 m³/dag |
Wanneer als uitgangspunt 4 dagen wordt genomen voor het bereiken van de benodigde verlaging, dan wordt na 28 dagen bemalen met een debiet van 493 m³/dag op de equivalente straal van 9,5 meter (berekend volgens r0 = (L + B) / π = (20 + 10) / π), een verlaging van 3,21 meter berekend in plaats van 2,0 meter. Dit betekent dat na het bereiken van de gewenste verlaging na 4 dagen het debiet geknepen kan/moet worden. De verlaging op 50 en 100 meter afstand bij een debiet van 493 m³/dag bedraagt na 28 dagen bemalen (respectievelijk 1,15 meter en 0,29 meter). Zie tabel II.2.
Tabel II.2
| Tijd | r | Q | u | W(u) | h w |
| 28 dagen | 50 m | 493 m³/dag | 0,0886 | 1,8476 | 1,15 m |
| 28 dagen | 100 m | 493 m³/dag | 0,3543 | 0,4613 | 0,29 m |
Voor de reikwijdte geldt bij 'korte' bemaling
R = 3000α√k (m/s)
R = 3000 * 2 * √4.5/86400 = 43,3 (in deze formule is onder het wortelteken de k-waarde in m/dag gedeeld door het aantal seconden in een dag)
Hieruit volgt voor
Rekenvoorbeeld onvolkomen spanningswater
[ link ]
Figuur II.2 Onvolkomen spanningswater
Uitgangspunten voorbeeld onvolkomen spanningswater
- bouwputafmetingen: 10 m bij 20 m
- dikte watervoerende laag D: 14 m
- doorlaatfactor k: 4,5 m/dag
- meewerkende poriënvolume S: 0,01
- gewenste verlaging: 2 m
- weerstand deklaag: 115 dagen
Bepaal voor een juiste dimensionering van een bemaling eerst hoe snel de bouwput droog gemalen kan worden en welk debiet daarvoor onttrokken moet worden. Voor de berekening hiervan geldt volgens Hantush-Jacob:
waarin:
| Q o | = | onttrekkingsdebiet | [m³/dag] |
| Δh w | = | verlaging op afstand r | [m] |
| r | = | afstand tot aan de bemaling | [m] |
| k | = | gemiddelde horizontale doorlaatfactor | [m/dag] |
| D | = | dikte van het watervoerend pakket | [m] |
| W(u, r/λ) | = | logaritmische integraal | [-] |
| u | = | dimensieloze veranderlijke | [-] |
| S | = | elastische bergingscoëfficiënt | [-] |
| t | = | tijd | [dagen] |
| K 0 (r/λ | = | gemodificeerde Bessel-functie van de nulde orde | [-] |
| λ | = | karakteristieke lengte, leklengte of spreidingslengte = √kDc | [m] |
| mv | = | (in figuur II.2) maaiveld | |
| sh | = | (in figuur II.2) stijghoogte | [m] |
| ob | = | (in figuur II.2) ondoorlatende basis | [-] |
Voor de W(u, r/λ) functie zijn in tabellen opgenomen (Hantush well function) [25]. Een 'handige' omrekening is hier niet voor handen. Voor de spreidingslengte λ geldt = √kDc = √4,5 . 14 . 115 = 85 m
Als de benodigde verlaging na 1 of 2 dagen bereikt moet zijn, dan worden de volgende debieten berekend. Zie tabel II.3.
Tabel II.3
| Tijd | u | r/λ | W(u, r/λ) | Q 0 |
| 1 dag | 0,003619 | 0,1122 | ≈ 4,3539 | 364 m³/dag |
| 2 dagen | 0,001809 | 0,1122 | ≈ 4,5573 | 347 m³/dag |
Wanneer als uitgangspunt 2 dagen wordt genomen voor het bereiken van de benodigde verlaging, dan wordt na 28 dagen bemalen met een debiet van 347 m³/dag op de equivalente straal van 9,5 meter (berekend volgens r0 = (L+B) / π = (20+10) / π), een verlaging van 2,02 meter berekend in plaats van 2,0 meter. Dit betekent dat na het bereiken van de gewenste verlaging na 2 dagen het debiet maar licht hoeft worden bijgesteld. De verlaging op 50 en 100 meter afstand bij een debiet van 347 m³/dag bedraagt na 28 dagen bemalen. Zie tabel II.4
Tabel II.4
| Tijd | r | Q | u | r/λ | W(u, r/λ) | Δh w |
| 28 dagen | 9,5 m | 347 m³/dag | 0,000129 | 0,1122 | ≈ 4,6008 | 2,02 m |
| 28 dagen | 50 m | 347 m³/dag | 0,003543 | 0,5874 | ≈ 1,5883 | 0,70 m |
| 28 dagen | 100 m | 347 m³/dag | 0,014172 | 1,1748 | ≈ 0,6593 | 0,29 m |
In de stationaire toestand geldt volgens De Glee:
Voor het stationaire debiet volgt met De Glee voor:
K0 (r/λ) kan worden opgezocht in tabellen [25] of met Excel worden berekend.
Hiervoor zit onder onder Excel een standaardfunctie onder de functietoets fx, in de groep 'Techniek', selecteer BESSEL.K en vul in het invoerscherm voor x de waarde vanr/λ in en voor n een '0' omdat het een Besselfunctie van de 'nulde' orde is.
Deze waarden komen goed overeen met de waarden die werden gevonden in de vorige tabel en die nagenoeg gelijk moeten zijn omdat het stationaire debiet niet veel afwijkt van het debiet na 28 dagen. Dit betekent dat ook op een afstand van 100 meter van de bouwput na die periode van bemalen de stationaire toestand is bereikt. Op grotere afstand hoeft dit nog niet het geval te zijn.
De waarden voorW(u, r/λ) zijn berekend met een python-script.
Deze waarden komen goed overeen met de waarden die werden gevonden in de vorige tabel en die nagenoeg gelijk moeten zijn omdat het stationaire debiet niet veel afwijkt van het debiet na 28 dagen. Dit betekent dat ook op een afstand van 100 meter van de bouwput na die periode van bemalen de stationaire toestand is bereikt. Op grotere afstand hoeft dit nog niet het geval te zijn.
De waarden voorW(u, r/λ) zijn berekend met een python-script.
Tabel II.5
| r | Q | r/λ | K 0 (r/λ) | Δh w (r) |
| 9,5 m | 342 m³/dag | 0,1122 | 2,3139 | 2,00 m |
| 50 m | 342 m³/dag | 0,5874 | 0,7941 | 0,69 m |
| 100 m | 342 m³/dag | 1,1748 | 0,3297 | 0,28 m |
Freatisch grondwater boven onvolkomen spanningswater
[ link ]
Figuur II.3 Freatisch grondwater boven onvolkomen spanningswater
Uitgangspunten voorbeeld freatisch water boven onvolkomen spanningswater
- bouwputafmetingen: 10 m bij 20 m
- doorstroomde dikte watervoerende laag H: 14 m
- doorlaatfactor k: 4,5 m/dag
- meewerkende poriënvolume: 0,25
- gewenste verlaging: 2 m
- weerstand deklaag: 115 dagen
Voor een zelfde soort berekening als hiervoor geldt volgens Hantush-Jacob:
| Q o | = | onttrekkingsdebiet | [m³/dag] |
| Δh w | = | verlaging op afstand r | [m] |
| k | = | gemiddelde horizontale doorlaatfactor | [m/dag] |
| H | = | doorstroomde dikte van het pakket | [m] |
| W(u, r/λ) | = | logaritmische integraal | [-] |
| u | = | dimensieloze veranderlijke | [-] |
| μ | = | freatische bergingscoëfficiënt | [-] |
| r | = | afstand tot aan de bemaling | [m] |
| t | = | tijd | [dagen] |
| λ | = | karakteristieke lengte, leklengte of spreidingslengte = √kDc | [m] |
| mv | = | (in figuur II.3) maaiveld | |
| gws | = | (in figuur II.3) grondwaterstand | [m] |
| ob | = | (in figuur II.3) ondoorlatende basis | [-] |
Voor de W(u, r/λ) functie zijn in tabellen [25] opgenomen. Een 'handige' omrekening is hier niet voor handen. Voor de spreidingslengte λ. geldt = √kDc = √4,5 . 14 .115= 85 m
Als de benodigde verlaging na 1 of 2 dagen bereikt moet zijn, dan worden de volgende debieten berekend. Zie tabel II.6.
Tabel II.6
| Tijd | u | r/λ | W(u, r/λ) | Q 0 |
| 1 dag | 0,0905 | 0,1122 | ≈ 1,8885 | 838 m³/dag |
| 2 dagen | 0,0452 | 0,1122 | ≈ 2,5061 | 632 m³/dag |
| 4 dagen | 0,0226 | 0,1122 | ≈ 3,1130 | 509 m³/dag |
| 8 dagen | 0,0113 | 0,1122 | ≈ 3,6713 | 431 m³/dag |
| 12 dagen | 0,0075 | 0,1122 | ≈ 3,9565 | 400 m³/dag |
Wanneer als uitgangspunt 4 dagen wordt genomen voor het bereiken van de benodigde verlaging, dan wordt na 28 dagen bemalen met een debiet van 509 m³/dag op de equivalente straal van 9,5 meter (berekend volgens r0 = (L+B) / π = (20+10) / π), een verlaging van 2,83 meter berekend in plaats van 2,0 meter. Dit betekent dat na het bereiken van de gewenste verlaging na 2 dagen het debiet fors moet worden geknepen. De verlaging op 50 en 100 meter afstand bij een debiet van 509 m³/dag bedraagt na 28 dagen bemalen. Zie tabel II.7.
Tabel II.7
| Tijd | r | Q | u | r/λ | W(u, r/λ) | Δh w (r) |
| 28 dagen | 9,5 m | 509 m³/dag | 0,003231 | 0,1122 | ≈ 4,3990 | 2,83 m |
| 28 dagen | 50 m | 509 m³/dag | 0,088577 | 0,5874 | ≈ 1,3723 | 0,88 m |
| 28 dagen | 100 m | 509 m³/dag | 0,354308 | 1,1748 | ≈ 0,4782 | 0,31 m |
In de stationaire toestand geldt volgens De Glee
of om het debiet te berekenen
Tabel II.8
| R | Q | r/λ | K 0 (r/λ) | Δh w (r) |
| 9,5 m | 342 m³/dag | 0,1122 | 2,3139 | 2,00 m |
| 50 m | 342 m³/dag | 0,5874 | 0,7941 | 0,69 m |
| 100 m | 342 m³/dag | 1,1748 | 0,3297 | 0,28 m |
Hieruit volgt voor het stationaire debiet Q0 = 2(2π . 4,5 . 14/2,313902) = 342 m3/dag
K0 (r/λ) kan [25] worden opgezocht in tabellen of met Excel worden berekend.
K0 (r/λ) kan [25] worden opgezocht in tabellen of met Excel worden berekend.
Deze waarden komen goed overeen met de waarden die werden gevonden bij de berekening voor niet-volkomen spanningswater (semi-spanningswater). De parameters die zijn gebruikt zijn immers hetzelfde. De waarden komen niet overeen met de vorige tabel. Het stationaire debiet is veel lager dan het niet-stationaire debiet na 4 dagen bemalen. Als met dat debiet 28 dagen lang wordt bemalen, wordt een veel grotere verlaging veroorzaakt dan noodzakelijk is.
Lekkage door damwanden
Uitgangspunten voorbeeld lekkage door damwanden
- bouwputafmetingen: 10 m bij 20 m
- maaiveld: 0 m
- grondwaterstand en stijghoogte: -0,5 m
- gewenste grondwaterstand: -2,5 m (verlaging 2 m)
- ontgravingsdiepte: -2,0 m
- diepte watervoerende laag: -4 m
- inverse slotweerstand ρ: 5,0*10-8 m/s
- damwandplankbreedte: 1,05 m
- weerstand bouwputbodem c: 200 dagen
Voor lekkage door de damwandsloten geldt:
waarin
| Q | = | debiet | [m³/dag] |
| ρ | = | inverse slotweerstand | [dagen] |
| n | = | aantal sloten | [-] |
| H w | = | waterdruk boven bouwput | [mwk] |
| H d | = | waterdruk onder bouwput | [mwk] |
[ link ]
Figuur II.4 Lek door damwand volgens Sellmeijer
Uit het blokje met informatie zijn de volgende waarden voor de rekenparameters af te leiden:
- Hw bedraagt derhalve: 2 m
- Hd bedraagt derhalve: 1,5 m
- omtrek bouwput bedraagt: 60 m
- aantal sloten n bedraagt: 57
- inverse slotweerstand: 0,0043 m/dag
Het lekdebiet wordt dan:
Kwel in een bouwput omgeven door waterkerende voorzieningen
Voor de berekening van kwel door een waterremmende laag onder een bouwput die omsloten is door waterkerende voorzieningen geldt:
Q = Δφ / c ∙ A
waarin
| Q | = | lekdebiet | [m³/dag] |
| Δφ = (φ 1 - φ0 ) | = | stijghoogteverschil onder en boven de waterremmende laag | |
| c | = | hydraulische of stromingsweerstand van de waterremmende laag onder de bouwput in dagen | |
| A | = | oppervlakte van de bouwput |
Met de gegevens uit het vorige voorbeeld (lekkage door damwanden) zijn de volgende waarden voor de parameters af te leiden:
- oppervlakte A van de bouwput: 200 m²
- Δφ = stijghoogte - verlaagde waterstand in bouwput = 2 m
Het kweldebiet wordt dan:
Q = 2 / 200 ∙ 200 = 2 m³/dag
Kwel door gat in onderafdichting
Volgens Bruggeman geldt:
Q = 4aKrhR
Wanneer de bodem homogeen-isotroop is geldt voor
waarin:
| Q | = | lekdebiet | [m 3 /dag] |
| K r | = | horizontale doorlaatfactor | [m/d] |
| h | = | potentiaalverschil tussen normaal en de aanwezige verlaging | [m] |
| R | = | straal van het gat | [m] |
| a | = | anisotropiefactor | [-] |
| K z | = | verticale doorlaatfactor | [m/d] |
| Z | = | middellijn van het gat | [m] |
[ link ]
Figuur II.5 Lek door gat volgens Bruggeman
- doorlatendheid kr: 10 m/dag
- stijghoogteverschil h: 5m
- straal van het gat: 0,5 m
Er wordt dan een debiet door het gat berekend van
Q = 4 ∙ 1 ∙ 10 ∙ 5 ∙ 0,5 = 100 m³/dag
Volgens Sellmeijer geldt:
Er is maar 1 gat dus:
[ link ]
Figuur II.6 Lek door gat volgens Sellmeijer
Dan geldt dus
Q 0 = 2πr0 ∙ k ∙ Δφ
Met dezelfde waarden als bij Bruggeman wordt het debiet door het gat
Q = 2π ∙ 0,5 ∙ 10 ∙ 5 = 157 m³/dag
Merk op dat tussen de berekeningswijzen van Sellmeijer en Bruggeman een factor 1/2 π zit. Dit is uit de formules af te leiden en in de uitkomst terug te vinden. Hoewel de factor significant lijkt, blijkt in de praktijk het verschil niet zo relevant te zijn: de orde grootte van beide debieten blijft min of meer gelijk en de oplossing van het probleem is niet erg afhankelijk van het verschil tussen de uitkomsten van beide berekeningen.
Bemaling van een sleuf
Voor de bemaling van een sleuf zijn de eerder behandelde analytische formules toe te passen met als 'bijzonderheid' de aangepaste berekening van de bouwputstraal volgens Fraanje [27]. Met het eerste en het derde voorbeeld is, door bijvoorbeeld de 'lengte' 20 meter te nemen in plaats van 200 meter, op dezelfde wijze inzicht te verschaffen in debieten en verlagingen. Het momentane debiet uitrekenen met de formule van Edelman voor een 'plotselinge verlaging' is eveneens, analoog aan de eerste drie voorbeelden, betrekkelijk eenvoudig door het berekende specifieke debiet q 0 uit de formule met 2 te vermenigvuldigen en met de sleuflengte L:
of volgens proefschrift:
waarin:
| Q 0 | = | totaal debiet | [m³/dag] |
| L | = | sleuflengte | [m] |
| Δφ0 | = | momentane verlaging op de rand van de sleuf | [m] |
| k | = | gemiddelde horizontale doorlaatfactor | [m/dag] |
| H | = | doorstroomde dikte van het pakket | [m] |
| t | = | tijd | [dagen] |
| μ | = | freatische bergingscoëfficiënt | [-] |
Het berekenen van de verlagingen op afstand x (Δφ x) is minder eenvoudig
Δφ x = Δφ0 ∙ E 1
met E 1 als functie van
De parameter E 1 is in [25] weergegeven in tabellen maar zit ook als standaardfunctie in Microsoft Excel: de formule dient dan als volgt te worden ingetypt (waarbij de symbolen doorgaans worden vervangen door celverwijzingen waar de betreffende waarden van de parameters zijn opgeslagen). Hiermee zijn dan ook eenvoudig reeksen van berekeningen te maken zoals in de voorbeelden na 1, 10 en 20 dagen bemalen:
(FOUT.COMPLEMENT is te vinden onder functietoets fx, in de groep 'Techniek').
Een voorbeeld van een Excel-berekening staat in figuur II.7.
Een voorbeeld van een Excel-berekening staat in figuur II.7.
Figuur II.7 Voorbeeld berekening met Excel
| kH | 63 | m2/d | kH | 63 | m2/d | kH | 63 | m2/d | ||
| berging (mu) | 0.25 | - | berging (mu) | 0.25 | - | berging (mu) | 0.25 | - | ||
| lengte | 100 | m | lengte | 100 | m | lengte | 100 | m | ||
| verlaging | 2 | m | verlaging | 2 | m | verlaging | 2 | m | ||
| t | 1 | d | t | 10 | d | t | 20 | d | ||
| afstand (x) | verlaging [m] | afstand (x) | verlaging [m] | afstand (x) | verlaging [m] | |||||
| 1 | 1.93 | 1 | 1.98 | 1 | 1.98 | |||||
| 2 | 1.86 | 2 | 1.96 | 2 | 1.97 | |||||
| 5 | 1.65 | 5 | 1.89 | 5 | 1.92 | |||||
| 10 | 1.31 | 10 | 1.78 | 10 | 1.84 | |||||
| 15 | 1.01 | 15 | 1.67 | 15 | 1.76 | |||||
| 25 | 0.53 | 25 | 1.45 | 25 | 1.61 | |||||
| 50 | 0.05 | 50 | 0.96 | 50 | 1.24 | |||||
| 75 | 0 | 75 | 0.58 | 75 | 0.91 | |||||
| 100 | 0 | 100 | 0.32 | 100 | 0.64 | |||||
| 150 | 0 | 150 | 0.07 | 150 | 0.27 | |||||
| 200 | 0 | 200 | 0.01 | 200 | 0.09 | |||||
| specifiek debiet | Q eenzijdig | Q tweezijdig | specifiek debiet | Q eenzijdig | Q tweezijdig | specifiek debiet | Q eenzijdig | Q tweezijdig | ||
| m 2 /dag | m 3 /d | m 3 /d | m 2 /dag | m 3 /d | m 3 /d | m 2 /dag | m 3 /d | m3/d | ||
| 4.5 | 447.8 | 895.6 | 1.4 | 141.6 | 283.2 | 1.0 | 100.1 | 200.3 |
Energieverbruik van de pomp
Het energieverbruik van de bemalingsinstallatie is als volgt te ramen. Bepaal het benodigd pompvermogen door
waarin:
| P | = | vermogen | [Nm/s, W] |
| Q | = | debiet | [m³/s] |
| ηm | = | rendement van de motor | [-] |
| ηp | = | rendement van de pomp | [-] |
| h | = | opvoerhoogte (inclusief verlies in zuig- en persleidingen) | [m] |
| λw | = | soortelijk gewicht water = 9.800 | [N/m³] |
(t): W = P ∙ t
| Rekenvoorbeeld | |||
| stel: | ηm | = | 0,83 |
| ηp | = | 0,60 | |
| Q | = | 400m³/u | |
| h | = | 15 m |
Het verbruik per maand: 32,7 kW ∙ 720 uren = 23.544 kWh.