De methode Bishop
De methode Bishop is een glijvlakberekeningsmethode, waarbij evenwichtsverlies van een talud door het ontstaan van een cirkelvormig glijvlak wordt verondersteld.
Deze methode wordt in de praktijk veelvuldig gebruikt voor de bepaling van de stabiliteitsfactor van een talud. Daarbij wordt een potentieel afschuifbare, cirkelvormige moot grond opgedeeld in een aantal lamellen, begrensd door verticale scheidingen(zie figuur 6.6.2). Langs het cirkelvormige glijvlak werkt een schuifspanning τ en een normaalspanning σ’n.
[ link ]
Figuur 6.6.2, Glijvlak met indeling in lamellen, uit: handleiding D-Geo Stability, .
Door de te mobiliseren schuifsterkte ter plaatse van het glijvlak te vermenigvuldigen met de lengte bi van het stukje glijvlak van een lamel wordt de schuifkracht langs dat glijvlak gevonden(zie figuur 6.6.3).
[ link ]
Figuur 6.6.3, Krachtenevenwicht voor een enkele lamel conform methode Bishop, uit: handleiding D-Geo Stability .
Sommatie van de schuifkrachten van alle lamellen en vermenigvuldiging van de som met de straal van de glijcirkel (R) levert het totale tegenwerkend moment op ten gevolge van de aanwezige schuifsterkte.
Het aandrijvend moment wordt bepaald door van iedere lamel het gewicht van de moot grond te vermenigvuldigen met de horizontale hefboomarm ten opzichte van het middelpunt van de cirkel en deze voor alle lamellen te sommeren en eventueel aan te vullen met een moment ten gevolge van aanwezigheid van vrij water.
De stabiliteitsfactor SF wordt nu gedefinieerd als het quotiënt van het tegenwerkend moment en het aandrijvend moment; in formulevorm:
| Referentie | Vergelijking 6.6.2, Methode Bishop. | ||
| Formule | (a)met: (b) volgt: (c) | ||
| Parameters | Symbool | Eenheid | Omschrijving |
| SF | [-] | stabiliteitsfactor | |
| n | [-] | aantal lamellen | |
| σ' i | [°] | hoek van inwendige wrijving ter plaatse van het glijvlak van lamel i | |
| c' i | [kPa] | cohesie ter plaatse van het glijvlak van lamel i | |
| σ' ni | [kPa] | korrelspanning loodrecht op het glijvlak van lamel i | |
| b i | [m] | breedte van lamel i | |
| γ i | [kN/m 3 ] | volumiek gewicht van de grondmoot van lamel i | |
| h i | [m] | hoogte van lamel i | |
| α i | [°] | hoek van het glijvlak van lamel i het de horizontaal | |
| R | [m] | straal | |
| u i | [kPa] | waterspanning ter plaatse van het glijvlak van lamel i | |
| τ i | [kPa] | schuifspanning ter plaatse van het glijvlak van lamel i | |
| Opmerking | voor grafische toelichting, zie figuur 6.6.2 en figuur 6.6.3. | ||
De straal, R die in vergelijking 6.6.2a boven en onder de deelstreep staat, kan worden weggelaten evenals de breedte bi, op voorwaarde dat deze voor alle lamellen gelijk wordt gekozen. Uit het verticale evenwicht van een lamel kan σni' worden berekend. Hierbij wordt verondersteld dat de resultante van de krachten tussen de lamellen horizontaal is, zodat deze krachten geen invloed hebben op het verticale evenwicht. Voor het verticale evenwicht van een lamel geldt:
In vergelijking 6.6.2b wordt de actuele schuifspanning τi een factor SF kleiner gesteld dan de maximaal te mobiliseren schuifspanning volgens het criterium van Mohr-Coulomb, te weten:
De combinatie van bovenstaande vergelijkingen in vergelijking 6.6.2a, levert vergelijking 6.6.2c op. Hieruit kan de stabiliteitsfactor iteratief worden bepaald. Hoge waarden voor α kunnen in vergelijking 6.6.2c tot numerieke problemen leiden. Dit is nader toegelicht in tekstblok 6.3.
Tekstblok 6.3, Afsnuiten α.
Omdat de stabiliteitsfactor SF ook in het rechterlid voorkomt wordt de grootte van SFj iteratief bepaald, waarbij de berekende SFj-1 van de voorgaande iteratiestap wordt ingevuld in het rechterlid.
De vergelijking 6.6.2b is te combineren tot:
met:
De waarde van B in de bovenstaande vergelijking en dus ook de waarde van de teller van vergelijking 6.6.2c gaat naar oneindig als (αi + φi') = 90°. Als gevolg hiervan worden absurd hoge of negatieve stabiliteitsfactoren gevonden. Dit proces wordt gecorrigeerd door hoek αi voor waarden groter dan 45° - φi'/2 te fixeren op 45° ‑ φi'/2. Dit wordt afsnuiten genoemd. De waarde van 45° - φi'/2 stemt overeen met de maximale afmeting van de Mohr cirkel(zie tekstblok 6.1).
De stabiliteitsfactor kan slechts per gekozen cirkelvormig glijvlak worden bepaald. Door zowel het middelpunt als de straal van de cirkel te variëren moet iteratief de minimum stabiliteitsfactor worden gezocht.
Als beperkingen van de methode Bishop kunnen worden genoemd:
- De methode is alleen geschikt voor cirkelvormige glijvlakken.
- Er is alleen uitwendig momentenevenwicht, uitwendig verticaal evenwicht en per lamel verticaal evenwicht.
- Het horizontale evenwicht wordt niet berekend, noch uitwendig, noch per lamel; de som van alle interlamelkrachten is ongelijk aan nul.
- De methode doet een onjuiste aanname ten aanzien van de krachten tussen de lamellen onderling; overigens heeft deze aanname weinig invloed.