Mechanische basisprincipes; Spanningstensor en vereenvoudigingen

De complete drie-dimensionale spanningstensor kent 9 componenten. Volgens het principe van Terzaghi kan de spanningstensor voor totaal spanning en effectieve spanning als volgt worden beschreven:

Waarin het accent de effectieve spanningen weergeeft, σ_w de waterspanning en σ_nn en τ_nn de normaalspanning en schuifspanning volgens figuur 6.1.1b. Op basis van kracht -, en momentevenwicht kan worden aangetoond dat geldt τ_xy = τ_yx, τ_zx = τ_xz en τ_zy = τ_yz. De complete drie dimensionale spanningstensor is voor de meeste praktische toepassingen te complex met als gevolg dat vereenvoudigingen worden gebruikt.

De waarde van de afzonderlijke componenten in bovenstaande vergelijking zijn afhankelijk van de keuze van het assenstelsel. Hoewel de daadwerkelijke spanningen niet veranderen zal bij een andere keuze van het assenstelsel de afzonderlijke componenten andere waarden krijgen. Vanuit de matrixleer volgt dat een tensor kan worden kan worden beschreven met enkele invarianten, waarbij de grootte van deze invarianten onafhankelijk van het gekozen assenstelsel zijn. Voor de grondmechanica zijn de volgende invarianten van belang:

Door gebruik te maken van p’ en q is de drie dimensionale spanningstensor teruggebracht tot een twee dimensionale vector, die onafhankelijk is van het gekozen assenstelsel.

Een speciale situatie wordt gevonden bij het analyseren van laboratoriumproeven. Conventionele laboratoriumproeven worden uitgevoerd op een cilindrisch monster. Voor axiaal symmetrische condities, waarbij σ’_a de spanning in axiale richting en σ’_r de effectieve spanning in radiale richting, volgt een verdere vereenvoudiging van de uitdrukking voor de deviatorspanning, q (zie tabel 6.1.1).