Volledig probabilistische verificatie (niveau II en III)
De betrouwbaarheid van ontwerpen van grondlichamen kan worden geverifieerd door middel van volledig probabilistische faalkansanalyses door het bepalen van de faalkans Pf of de bijbehorende betrouwbaarheidsindex β. Afhankelijk van het toepassingsdomein of de regelgeving kan de faalkans of de betrouwbaarheidsindex direct worden gerelateerd aan toelaatbare faalkansen of doelbetrouwbaarheidswaarden, zie paragraaf 2.2.3.
Kader 2.1: Principe faalkansanalyse
Bij een faalkansanalyse gaat het om het vergelijken van de aanwezige sterkte, R van een constructie met de belasting, S die erop inwerkt, rekening houdend met de onzekerheden in beide. De faalkans is de kans dat de belasting groter is dan de sterkte, gedurende een bepaalde referentieperiode, bv. 50 jaar.
Faalkansanalysetechnieken werken met een grenstoestandsfunctie, Z, die definieert bij welke combinaties van sterkte en belasting falen van de constructie optreedt. De conventie is dat falen optreedt als de grenstoestandsfunctie een negatieve waarde aanneemt, Z < 0. In het geval van één sterktevariabele, R en één belastingvariabele, S wordt de grenstoestandsfunctie dus: Z = R – S.
In een faalkansanalyse wordt doorgaans de onzekerheid in de waarde van de grenstoestandsfunctie, Z bepaald, rekening houdend met de onzekerheden in alle onderliggende variabelen, en vervolgens wordt de faalkans bepaald als: Pf = P(Z < 0).
Een eerste orde benadering voor de betrouwbaarheidsindex, β op basis van de verwachtingswaarde, μZ en de standaardafwijking, σZ van de grenstoestandsfunctiewaarde is: β = μZ / σZ.
De nadere uitwerking voor grondconstructies met de formele definities volgt in paragraaf 2.2. Voor achtergrondinformatie over probabilistische analyses van constructies wordt verwezen naar relevante basisliteratuur zoals () en ().
Faalkans
De faalkans, oftewel de kans op overschrijden van de uiterste grenstoestand, UGT, wordt formeel gedefinieerd als de integraal van de gezamenlijke kansdichtheid van de onzekere variabelen, stochasten, fx(x) in het faaldomein, ZUGT ≤ 0, zie vergelijking 2.2.1.
| Referentie | vergelijking 2.2.1, Definitie faalkans | |||
| Formule | ||||
| Parameters | Symbool | Eenheid | Omschrijving | Opomerking |
| P f | [-] | Faalkans | Voor grondconstructies voor periode van 50 jaar, de eenheid wordt dan [1/50 jaar] | |
| P | [-] | Kans | ||
| Z UGT | [-] | faaldomein uiterste grenstoestand | ||
| f x (x) | [-] | kansdichtheid stochasten | ||
| Opmerking | ||||
Er bestaan diverse rekentechnieken om de faalkans te bepalen. De meest gebruikelijke methode in combinatie met stabiliteitsanalyses is First-order reliability method, FORM. Dit is een niveau II methode met benaderingen die inherent zijn aan de methode zelf. Er kan ook gebruik gemaakt worden van andere faalkansanalyse-methodes van niveau III. Dit zijn methoden die in de limiet exact zijn, zoals bijvoorbeeld Monte Carlo analyse of Importance Sampling. Voor achtergronden en nadere informatie over betrouwbaarheidsmethodes verwijzen we naar de literatuur, bijvoorbeeld (). Er zijn diverse betrouwbare implementaties van deze methoden in software beschikbaar.
Voor het bepalen van faalkansen met stabiliteitsanalyses worden in de ‘Handreiking faalkansanalyse macrostabiliteit’ () aanwijzingen en aanbevelingen gegeven. De handreiking is gericht op waterkeringen, het merendeel van de inhoud is echter generiek toepasbaar voor de stabiliteit van ophogingen.
Betrouwbaarheidsindex
De betrouwbaarheidsindex β is een alternatieve maat voor de betrouwbaarheid en heeft een directe relatie met de faalkans, zie vergelijking 2.2.2
| Referentie | vergelijking 2.2.2, Definitie betrouwbaarheidsindex, β | |||
| Formule | ||||
| Parameters | Symbool | Eenheid | Omschrijving | Opomerking |
| β | [-] | betrouwbaarheidsindex | ||
| Φ -1 ( ) | [-] | de inverse standaard van de normale kansfunctie | ||
| P f | [-] | Faalkans | Voor grondconstructies voor periode van 50 jaar, de eenheid wordt dan [1/50 jaar] | |
| Opmerking | ||||
Tabel 2.2.1 geeft enkele voorbeelden van de betrouwbaarheidsindex en de bijbehorende faalkans.
Tabel 2.2.1. Relatie tussen faalkans P
f
en betrouwbaarheidsindex β| β | 1,8 | 2,3 | 2,8 | 3,3 | 3,8 | 4,3 |
| P f | 3,6 × 10 -2 | 1,1 × 10 -2 | 2,6 × 10 -3 | 4,8 × 10 -4 | 7,2 × 10 -5 | 8,5 × 10 -6 |
Referentieperiode en ontwerplevensduur
Faalkansen en betrouwbaarheidsindices hebben altijd betrekking op een referentieperiode. Dat is de tijdsduur waar de faalkans betrekking op heeft. Met een faalkans met een referentieperiode van 1 jaar bedoelen we de kans dat de constructie (een keer) faalt gedurende het beschouwde jaar; bij een referentieperiode van 50 jaar gaat het om de kans op (een keer) falen gedurende een periode van 50 jaar. De kansverdelingen van belastingen in een faalkansanalyse bijvoorbeeld hebben dan ook betrekking op de maximale belasting die in de referentieperiode optreedt.
De referentieperiode is niet te verwarren met de ontwerplevensduur. De ontwerplevensduur is de periode van het beoogde gebruik van de constructie waarvoor de veiligheid aangetoond moet worden. Vaak is dat 50 of 100 jaar voor permanente constructies, maar het kan ook korter zijn voor tijdelijke constructies. De begrippen referentieperiode en ontwerplevensduur zijn dus niet uitwisselbaar. Het ontwerp van een constructie met een ontwerplevensduur van 50 jaar kan bijvoorbeeld ook worden geverifieerd met een referentieperiode van 1 jaar. Het werken met jaarkansen houdt dan in dat in alle jaren aan de faalkanseis op jaarbasis, zie kader 2.2 moet worden voldaan. Indien bijvoorbeeld degradatie de levensduur bepaalt, wordt het laatste jaar bepalend. Bij grondconstructies, waarbij de sterkte in de tijd toeneemt, is meestal juist het eerste jaar bepalend, dan is de constructie het zwakst.