Correlaties voor de elasticiteitsmodulus

In paragraaf 3.3 (hoofdstuk 3) is uitgebreid ingegaan op de invloed van de materiaaleigenschappen op het spanningsvervormingsgedrag van korrelig materiaal. Daarbij werd betoogd dat de stijfheid van een korrelmassa, welke nauw samenhangt met de absolute dichtheid van die massa, behalve van de verdichtingsgraad ook zal afhangen van de korrelgrootteverdeling. Daarnaast kunnen de korrelvorm en de oppervlakteruwheid een rol spelen, terwijl bovendien het spanningsniveau van grote invloed kan zijn.

Algemeen kan worden aangenomen dat de stijfheid of weerstand tegen vervorming groter zal zijn naarmate:

• de korrelmassa beter is gegradeerd;
• de gemiddelde korreldiameter groter is;
• de korrels hoekiger zijn, het korreloppervlak ruwer is en de materiaalsterkte groter is;
• de verdichtingsgraad groter is;
• het spanningsniveau hoger ligt.

De invloed van de verdichtingsgraad is het meest evident; dicht materiaal gedraagt zich stijver dan los materiaal. In de ZTVE-richtlijnen geeft Floss (1979) waarden voor elasticiteitsmoduli E_oed zoals aangegeven in figuur 5.45a.

De invloed van de gradering wordt onder meer geïllustreerd door de grafieken van figuur 4.33a en 4.33b (hoofdstuk 4), waar de stijfheid wordt gerepresenteerd door de elasticiteitsmodulus, ontleend aan de Duitse plaatbelastingsproef bij herhaalde belasting. Voorts blijkt uit de meeste publicaties dat de voor de elasticiteitsmodulus gegeven richtwaarden hoger zijn naarmate de cohesieloze gronden grover zijn. In figuur 5.45b volgens Hunt [1986] zijn de elasticiteitsmoduli, ontleend aan de triaxiaalproef, vermeld als secantmodulus over het traject tussen de oorsprong (nulspanning) en de halve deviatorspanning bij bezwijken (E50).

Waarschijnlijk wordt het verschil in richtwaarden veroorzaakt door het feit dat, hoewel de absolute dichtheid van eenkorrelig materiaal niet door de korreldiameter wordt beïnvloed, het aantal korrelcontactpunten per volume-eenheid afneemt. Bovendien zijn in de natuur relatief grove, korrelige materialen, zoals grind, in het algemeen beter gegradeerd dan fijnere, zoals fijn zand.

In afwijking van de in paragraaf 3.3.1.2 gegeven conclusie dat hoekig materiaal vanwege de relatief lage dichtheid een lagere stijfheid oplevert dan ronder materiaal, duiden de in de literatuur gepubliceerde richtwaarden voor stijfheden erop dat een grotere hoekigheid in het algemeen leidt tot hogere stijfheid; vooral bij lage verdichtingsgraden blijkt echter ook het omgekeerde verschijnsel voor te komen.

Mogelijk spelen hierbij de volgende aspecten een rol:

• Hoekigheid wordt vaak verward met oppervlakteruwheid; de uitwerking op de stijfheid is, zoals beschreven in paragrafen 3.3.1.2, tegengesteld.
• Het voorkomen van hoekige korrels duidt vaak op een relatief grote materiaalsterkte, omdat in de korrelcontactpunten van sterk materiaal minder snel vergruizing zal optreden; in de grond-, weg- en waterbouw zijn de spanningsniveaus echter in het algemeen niet van dien aard dat vergruizing van enige betekenis zal plaatsvinden.
• De invloeden van gradering en verdichtingsgraad zijn veel groter dan die van hoekigheid of oppervlakteruwheid;
  omdat in-situ- of laboratoriumproevenseries veelal kostbaar zijn, is de invloed van afzonderlijke eigenschappen zoals hoekigheid of oppervlakteruwheid bij gelijkblijvende gradering en verdichtingsgraad nauwelijks expliciet onderzocht.

Illustratief in dat verband is het door Lee [1969] waargenomen gedrag van een aantal cohesieloze materialen, beproefd tot relatief hoge spanningsniveaus in triaxiaalapparatuur; de korrelgrootteverdeling van de materialen is aangegeven in figuur 5.46a. De oorspronkelijke materialen zijn gekwalificeerd als tamelijk hoekig, maar van de korrelgrootteverdelingen A en B werden echter ook monsters met afgeronde korrels gecreëerd door de fracties enige tijd in een kogelmolen te laten ronddraaien.

Uit de triaxiaalproefresultaten van figuur 5.46b blijkt dat de spanningsvervormingscurven van de hoekige monster afhankelijk zijn van de vorm en ligging van de korrelverdelingscurve. Voor spanningsniveaus tot σ’_v = 1 MPa is het stijfheidsgedrag van de monsters C, D, E en F verschillend van dat van de monsters A en B; bij hogere spanningsniveaus blijkt de stijfheid van het fijnste materiaal E het grootst. De afgeronde variant van het grindzand-materiaal B vertoont eenzelfde spanningsvervormingscurve als het fijnste materiaal E. De hoekige variant van materiaal B gedraagt zich, vooral bij hogere spanningen, minder stijf (figuur 5.46c). Opmerkelijk is voorts dat daarbij de steundrukken het verloop van de spanningsvervormingscurve niet beïnvloeden.

De consolidatiespanning of steundruk is overigens wel van invloed op de mate van vergruizing; deze laatste parameter is uitgedrukt in de verhouding tussen de D15 van het materiaal vσσr (D15_v) en na (D15_n) beproeving. De mate van vergruizing van de hoekige materialen A en B blijkt duidelijk groter dan die van de afgeronde varianten. Van alle hoekige materialen vertonen de grove soorten bovendien de hoogste maten van vergruizing (figuur 5.46d).

In het algemeen kan worden gesteld dat de invloed van de grofheid of gemiddelde korreldiameter in principe nihil is en dat de invloed van de hoekigheid en oppervlakteruwheid op de stijfheid slecht voorspelbaar is; de twee laatstgenoemde kenmerken worden overschaduwd door de invloed van de gradering en de verdichtingsgraad. Daarvan is de laatstgenoemde parameter verreweg het belangrijkst. Een en ander wordt geïllustreerd door de grafiek van Straub [1948] en door de nomogrammen van Jänke [1968].

Straub [1948] onderzocht zeven zanden, waarvan de korrelgrootteverdeling is gegeven in figuur 5.47a in een oedometer met een bovenbelasting van 1 MPa. De zanden A en D vertoonden een vrijwel identieke korrelgrootteverdeling, maar een verschillende korrelvorm; de zanden B en C hebben een verschil in het percentage fijne delen en de zanden e en g hebben een vrijwel identieke korrelvorm, maar een verschillende korrelgrootteverdeling. Het verband tussen de elasticiteitsmodulus, ontleend aan de oedometerproef, en de verdichtingsgraad R_e is in figuur 5.47b uitgezet als functie van materiaalsamenstelling (korrelgrootteverdeling en korrelvorm).

Jänke [1968] heeft getracht om alle hierboven genoemde invloeden (korrelvorm en oppervlakteruwheid, gemiddelde korreldiameter, gradering en dichtheid) op de elasticiteitsmodulus samen te vatten in twee parameters v en ω_v. De elasticiteitsmodulus ontleend aan de oedometerproef kan volgens diverse auteurs, onder wie Moussa [1961], Janbu [1967] en Lambe en Whitman [1969], worden gedefinieerd als een functie van het effectieve spanningsniveau σ’ door middel van de formule:

Op basis van zeer veel proefresultaten op talrijke monsters stelde Jänke [1968] de nomogrammen van figuur 5.40a en b samen. De invoerparameters zijn achtereenvolgens:

• De ‘Rauhigkeitsgrad’ r_g
  De Rauhigkeitsgrad r_g is een getalsmatige aanduiding van de korrelvorm en oppervlakteruwheid samen. In het laboratorium wordt deze parameter bepaald met behulp van de zogenaamde zandloperproef welke door Rex en Peck [1956] is ontwikkeld en door Jänke [1961] werd gemodificeerd. Daarbij stroomt een zekere hoeveelheid droog materiaal door een nauwe trechteropening. De uitstroomtijd van een zevental korrelfracties tussen 60 µm en 8 mm wordt vergeleken met die van overeenkomstige fracties gebroken graniet, welke een Rauhigkeitsgrad r_g = 1,0 bezitten; volkomen ronde en gladde korrels zouden r_g = 0 opleveren. Voor de bepaling van de Rauhigkeitsgrad van het totale mengsel r_g dienen behalve de waarden r₁ t/m r₇ van de samenstellende fracties ook de specifieke korreloppervlakken (O₁ t/m O₇) van de afzonderlijke fracties in de totale hoeveelheid materiaal te worden gebruikt.
  [ link ]
• De ‘wirksame’ of werkzame korreldiameter d_w
  De werkzame korreldiameter d_w wordt ontleend aan het korrelverdelingsdiagram en blijkt in zekere mate afhankelijk van de gelijkmatigheidscoëfficiënt D60/D10. Volgens Beyer [1964] is d_w nauwelijks lager dan D50; voor goed gegradeerd materiaal ligt d_w tussen D30 en D50.
• De gelijkmatigheidscoëfficiënt D60/D10.
• De dichtheid, in de vorm van het poriëngetal e.

De spanningsafhankelijkheid van de elasticiteitsmodulus is ook meer recentelijk door vele onderzoekers bestudeerd. Anagnostopoulos [1990] belastte een aantal zanden - zwak siltige zanden, siltige en kleiige zanden en zandige silten - tot relatief hoge belastingen van σ’_v = 600 kPa in oedometer-apparatuur. Voor deze cohesieloze materialen vond hij, in afwijking van de door onder anderen Janbu [1967] gepresenteerde relatie, een lineair verband tussen spanningsniveau en stijfheid.

Overigens kwamen de resultaten van beide benaderingen voor spanningsniveaus tussen σ’_v = 50 kPa en σ’_v = 300 kPa goed overeen; zie figuur 5.49a, b en c. Beneden σ’_v = 50 kPa werden relatief grote afwijkingen gevonden, terwijl boven σ’_v een grotere spreiding dan volgens Janbu [1985] optrad. In dichtgepakte zanden wordt de stijfheid sterker beïnvloed door het spanningsniveau dan in losgepakte zanden.