Correlaties voor de hoek van inwendige wrijving
In de paragrafen 3.3.1.2 en 3.3.1.3 (hoofdstuk 3) is de invloed van de materiaaleigenschappen op het spanningsvervormingsgedrag uitvoerig besproken. Daarbij is plausibel gemaakt dat de sterkte van een korrelmassa in belangrijke mate afhangt van de dichtheid of verdichtingsgraad, hoewel ook de korrelgrootteverdeling, de korrelvorm en oppervlakteruwheid een rol kunnen spelen, evenals het spanningsniveau en de verzadigingsgraad.
Algemeen kan worden gesteld dat de sterkte of weerstand tegen bezwijken groter zal zijn naarmate:
- de korrels hoekiger zijn en/of een grotere oppervlakteruwheid bezitten;
- het percentage grove korrels groter is;
- de verdichtingsgraad groter is;
- de grond fijnkorreliger is en/of beter gegradeerd (ter bevordering van capillaire opstijging);
- het spanningsniveau lager ligt.
In de jaren vijftig en zestig hebben talrijke onderzoekers evenzovele empirische betrekkingen opgesteld die het verband tussen hoek van inwendige wrijving en dichtheid voorstellen. De bekendste worden hierna besproken.
Schultze [1968] stelde vast dat voor elk materiaal één of twee schuifproeven moeten worden uitgevoerd om de twee constanten voor het betreffende materiaal vast te stellen ter substitutie in de formule:
cotg φ = b eo + d
waarin:
b en d = constanten die met behulp van twee schuifproeven met verschillende dichtheid worden vastgesteld
b en d = constanten die met behulp van twee schuifproeven met verschillende dichtheid worden vastgesteld
Chen [1948] vond:
φ + a log e = c
waarin:
Mogami [1964] publiceerde:
| φ | = | hoek van inwendige wrijving in graden |
| a | = | Chen’s constante, die blijkt te kunnen worden gesteld op 60° |
| e | = | poriëngetal |
| c | = | constante die met behulp van een schuifproef wordt vastgesteld |
waarin:
K’ = de zogenaamde ‘strength parameter’ of sterkteparameter, die afhangt van korrelgrootteverdeling en korrelvorm
K’ = de zogenaamde ‘strength parameter’ of sterkteparameter, die afhangt van korrelgrootteverdeling en korrelvorm
In figuur 5.52 is de grootte van de sterkteparameter K’ als functie van het minimumporiëngetal (maximumdichtheid) en de grondsoort weergegeven.
[ link ]
Voorts onderzochten Hattori e.a. [1991] dezelfde relaties tussen de hoek van inwendige wrijving φ en het poriëngetal e bij 32 voornamelijk slecht en matig gegradeerde zanden met een gemiddelde korreldiameter variërend tussen D50 = 300 µm en D50 = 700 µm. De gevonden curven van figuur 5.53 blijken ook afhankelijk van de maximumdichtheid van het betreffende zand, terwijl tevens de korrelvorm van invloed is; de in de figuur gebruikte parameters zijn respectievelijk het initieel poriëngetal eo en de zogenaamde ‘roundness’ RK volgens de classificatie van Krumbein [1941]. Figuur 5.52 Verband tussen de ‘strength parameter’ K’ en het minimumporiëngetal voor diverse cohesieloze materialen
[ link ]
Figuur 5.53 Verband tussen de hoek van inwendige wrijving en het poriëngetal voor slecht- tot matiggegradeerde zanden
Teferra [1982] deed onderzoek naar de parameters die de constanten a en b in de formule van Schultze [1968] beïnvloeden. Hij kwam tot de conclusie dat beide functies zijn van de verhouding D85/D15, van het verschil (emax - emin), van de factor (1/D50)2 en van de zogenaamde Rauhigkeitsgrad rg volgens Jänke [1961].
Jänke [1968] vatte de invloeden van bovengenoemde parameters op dezelfde wijze als in figuur 5.48a en 5.48b samen in een nomogram (figuur 5.54). De invoerparameters zijn wederom:
- de Rauhigkeitsgrad rg;
- de ‘wirksame’ of werkzame korreldiameter dw;
- de gelijkmatigheidscoëfficiënt D60/D10;
- de dichtheid in de vorm van het poriëngetal e.
[ link ]
DGI [1985] suggereert ten behoeve van normale funderingen de hoek van inwendige wrijving voor zandondergrond de wrijving te schatten aan de hand van de empirische formule:Figuur 5.54 Nomogram ter bepaling van de hoek van inwendige wrijving
waarin:
| φ p | = | hoek van inwendige wrijving in graden uit plane-strain-proef |
| φ | = | hoek van inwendige wrijving in graden uit triaxiaalproef |
| R e | = | relatieve dichtheid |
Deze formule geldt voor zand met relatief hoekige korrels. Voor ronde korrels wordt een reductie van 3 graden in rekening gebracht. Voor de aanwezigheid van silt wordt eveneens gecorrigeerd: bij 10% silt wordt de hoek van inwendige wrijving φp met 2 graden, bij 20% silt met 5 graden gereduceerd.
Door Alpan [1964] werd een empirische relatie opgesteld tussen wrijvingshoek enerzijds en poriëngetal en gelijkmatigheidscoëfficiënt anderzijds (figuur 5.55).
[ link ]
Figuur 5.55 Verband tussen de hoek van inwendige wrijving en het poriëngetal als functie van de gelijkmatigheidscoëfficiënt
Brinch Hansen en Lundgren [1960] stelden dat de hoek van inwendige wrijving van korrelig materiaal kan worden weergeven als:
φ = 36° + Δφ1 + Δφ2 + Δφ3 + Δφ4
Daarbij geldt de (enigszins conservatieve) waarde van 36° voor een gemiddeld zand, terwijl de componenten Δφ1 tot en met Δφ4 afwijkingen voorstellen ten opzichte van dit gemiddelde. De afwijkingen worden als volgt gedefinieerd:
| Δφ 1 | = | +1° | voor hoekige korrels |
| = | 0° | voor korrels met gemiddelde korrelvorm | |
| = | -3° | voor afgeronde korrels | |
| = | -5° | voor zeer ronde korrels | |
| Δφ2 | = | 0° | voor gemiddeld zand |
| = | +1° | voor fijn grind | |
| = | +2° | voor middelmatig en grof grind | |
| Δφ 3 | = | -3° | voor eenkorrellige zanden |
| = | 0° | voor gemiddeld gegradeerde zanden | |
| = | +3° | voor goed gegradeerde zanden | |
| Δφ 4 | = | -5° | voor de meest losse pakking |
| = | 0° | voor gemiddelde pakking | |
| = | +6° | voor de meest dichte pakking |
Koerner [1970] stelde een soortgelijke vergelijking op, al zijn de waarden van de componenten enigszins afwijkend:
φ = 36° + Δφ1 + Δφ2 + Δφ3 + Δφ4 + Δφ5
waarin:
| Δφ 1 | = | +2° | voor hoekige korrels met een hoge sfericiteit en |
| = | -6° | voor matig afgeronde korrels met een hoge sfericiteit | |
| Δφ 2 | = | -11° | ingeval D 10 >2mm |
| = | -9° | voor 600 µm < D 10 < 2mm | |
| = | -4° | voor 200 µm < D 10 < 600 µm | |
| = | 0° | voor 60 µm < D 10 < 200 µm | |
| Δφ 3 | = | -2° | als C u > 2,0 |
| = | -1° | voor C u = 2,0 | |
| = | 0° | voor C u < 2,0 | |
| Δφ 4 | = | -1° | als 0% < R n < 50% |
| = | 0° | voor 50% < R n < 75% | |
| = | +4° | voor 75% < R n < 100% | |
| Δφ 5 | = | 0° | ingeval van kwarts |
| = | +4° | voor veldspaat, calciet en chloriet | |
| = | +6° | voor mica |
Uit bovenstaande opsommingen blijkt een relatief grote afhankelijkheid van de verdichtingsgraad. Veel onderzoekers hebben daarom getracht de relatie tussen hoek van inwendige wrijving φ en verdichtingsgraad of relatieve dichtheid weer te geven als functie van materiaalclassificaties met betrekking tot korrelgrootte, -gradering of -vorm.
[ link ]
Figuur 5.56 Verband volgens US Navy tussen de hoek van inwendige wrijving, de dichtheid en de relatieve dichtheid voor korrelige materialen
Een van de bekendste voorbeelden daarvan is de door US Navy [1971] gepubliceerde grafiek van figuur 5.56. Hierin is de hoek van inwendige wrijving φ, ontleend aan de triaxiaalproef, uitgezet tegen dichtheid en relatieve dichtheid Re van een zestal, volgens het Unified Soil Classification System (USCS) gecodeerde korrelige grondsoorten.
Schmertmann [1978] ontwikkelde een soortgelijke grafiek op basis van triaxiaalproefresultaten. Hij gebruikte als aanduiding van de zandsoorten eenvoudige beschrijvingen van de gradering en de grofheid (figuur 5.57).
[ link ]
Figuur 5.57 Verband volgens Schmertmann tussen de hoek van inwendige wrijving en de relatieve dichtheid als functie van de zandsoort
Voor specifieke zandsoorten zijn in de literatuur talrijke relaties van deze vorm te vinden. De eenvoudige lineaire verbanden worden dan ook vaak in formulevorm gepubliceerd. Zo kunnen de relaties die in figuur 5.56 volgens US Navy [1971] zijn gegeven, als volgt in formulevorm worden uitgedrukt:
| SM | : | φ (°) | = 26 +12 R e |
| SP | : | φ (°) | = 26,5 + 13 R e |
| SW | : | φ (°) | = 27 + 14 R e |
| GP | : | φ (°) | = 27,5 + 15 R e |
| GW | : | φ (°) | = 28 +17 R e |
waarbij Re staat voor de relatieve dichtheid (-). De gegeven φ-waarden worden in het algemeen beschouwd als relatief laag.
De zandsoorten uit de grafiek van Schmertmann [1978] leveren de volgende formules op met hogere φ-waarden dan volgens US Navy [1971]:
waarbij Re staat voor de relatieve dichtheid (-).
| a | : | φ (°) | = 38 + 8 R e |
| b | : | φ (°) | = 34,5 + 10 R e |
| c | : | φ (°) | = 31,5 + 12 R e |
| d | : | φ (°) | = 28 + 14 R e |
Lubking e.a. [1979] vonden voor fijn, eenkorrelig, tamelijk afgerond, marien zand (Eemszand):
φ (°) = 25 + 18Re
Het in de literatuur veel geciteerde, met Eemszand vergelijkbare Ottawa-zand gehoorzaamt aan de relatie:
φ (°) = 28 + 15 Re
Wanneer de door Lubking e.a. [1979] onderzochte Nederlandse zanden volgens de door Teferra [1982] beschreven methode aan de hand van korrelgrootte, korrelgradering en korrelvorm worden beschouwd, ontstaat de volgende betrekking:
φ (°) = (26 ± 2) + (16 ± 3) Re
Bij vergelijking van alle bovengenoemde betrekkingen kan worden geconcludeerd dat de door US Navy [1971] aanbevolen waarden relatief laag zijn; zij zijn dan ook bedoeld als veilige ontwerpwaarden. De meeste andere betrekkingen zijn gebaseerd op directe meetresultaten en kunnen worden beschouwd als representatieve waarden.
Wanneer in bovenstaande beschouwingen de invloed van de korrelvorm en oppervlakteruwheid expliciet wordt aangegeven, blijkt dat voor zanden de bovengrens van de betrekkingen tussen hoek van inwendige wrijving en relatieve dichtheid ligt bij grof, goedgegradeerd en hoekig materiaal, terwijl de ondergrens ligt bij fijn, slechtgegradeerd en rond materiaal.
De door Castro (1969) gepubliceerde meetresultaten voor enerzijds hoekig en anderzijds matig afgerond tot matig hoekig, eenkorrelig fijn zand laten zien dat de invloed van de korrelvorm aanmerkelijk kan zijn (figuur 5.58). Voor hoekig materiaal geldt daarbij gemiddeld:
φ (°) = 33 + 13 Re
[ link ]
Figuur 5.58 Verband tussen de hoek van inwendige wrijving en de relatieve dichtheid voor fijn, eenkorrelig zand
Voor matig afgerond tot matig hoekig materiaal wordt als gemiddelde aangegeven:
φ (°) = 29 + 12 Re
De zorgvuldigheid waarmee deze proeven op eenkorrelig fijn zand zijn uitgevoerd, doet vermoeden dat behalve de betrekkingen volgens US Navy [1971], ook de andere genoemde betrekkingen in meerdere of mindere mate als conservatieve benaderingen moeten worden beschouwd.
Over de invloed van grove korrels in het materiaal bestaan veel misverstanden. USBR publiceerde in de Earth Manual een grafiek die het effect van toevoeging van grind aan eenkorrelig zand duidelijk demonstreert (figuur 5.59).
[ link ]
Figuur 5.59 Invloed van de hoeveelheid grind op de grootte van de hoek van inwendige wrijving van grindig zand
Leslie [1963] voerde uitgebreide proevenseries uit op grofkorrelige materialen en kwam tot de volgende conclusies:
- Korrelmassa’s met dezelfde minimumkorrelafmetingen maar verschillende maximum korrelafmetingen leveren, na inklinking onder invloed van dezelfde verdichtingsenergie, behalve een grotere dichtheid ook een grotere hoek van inwendige wrijving op naarmate het materiaal beter gegradeerd is (figuur 5.60a).
- Korrelmassa’s met dezelfde gelijkmatigheidscoëfficiënt D60/D10 maar met een verschillende ‘gemiddelde korreldiameter’ D50 vertonen na inklinking onder invloed van dezelfde verdichtingsenergie weliswaar verschillende dichtheden, maar vrijwel dezelfde hoeken van inwendige wrijving (figuur 5.60b). Waarschijnlijk wordt hierbij het grotere interlocking-effect bij de grovere materialen gecompenseerd door de grotere mate van vergruizing, die als gevolg van de hogere drukken op elke individuele korrel zal optreden.