Invloed van horizontale spanningen

De relaties tussen de diverse hiervoor genoemde moduli zijn functies van de dwarscontractiecoëfficiënt ν en soms ook van de coëfficiënt van horizontale gronddruk K; deze is gedefinieerd als:

Evenals de grootte van ν hangt de grootte van K af van het materiaal; verder zijn ook de randvoorwaarden van invloed op de grootte van K. In een homogeen, isotroop elastisch materiaal, waarbij de spanningen en vervormingen voldoen aan de wet van Hooke, geldt de volgende formule, op voorwaarde dat geen zijdelingse vervormingen optreden en dat de onderling loodrechte horizontale spanningen σ_h1' en σ_h2' aan elkaar gelijk zijn:

waarin:
K_o = neutrale gronddrukcoëfficiënt

De hierboven beschreven situatie doet zich voor in een normale oedometerproef of in een niet-voorbelast terrein waarvan het oppervlak horizontaal ligt.

Indien wel zijdelingse vervormingen optreden, geldt voor de gronddrukcoëfficiënt:

́

waarin:Zijdelingse vervorming kan zowel buitenwaarts als binnenwaarts gericht zijn.

Een buitenwaarts gerichte zijdelingse vervorming van een grondelementje wordt veroorzaakt doordat de verticale spanning ten opzichte van de horizontale spanning toeneemt, hetzij door vergroting van de verticale spanning bij constante horizontale spanning, hetzij door vermindering van de horizontale spanning bij constante verticale spanning. In de figuren 3.12a en 3.15a is af te lezen dat wanneer als gevolg van een van deze acties de spanningscirkel van Mohr zo groot is geworden dat een kritieke spanningstoestand wordt bereikt, de kritieke spanningscombinatie optreedt in een vlak dat een hoek α maakt met het vlak waarop de grootste hoofdspanning σ_max (in dit geval σ_v’) werkt, dat wil zeggen met het horizontale vlak. Daarbij geldt:

Voorts kan uit de figuren worden afgeleid dat:

Een binnenwaarts gerichte vervorming van een grondelementje wordt veroorzaakt doordat de horizontale spanning ten opzichte van de verticale spanning toeneemt of doordat de verticale spanning afneemt bij constante horizontale spanning. Op dezelfde manier als bij buitenwaarts gerichte vervorming is af te lezen uit figuur 3.15a dat de kritieke spanningscombinatie nu optreedt in een vlak dat een hoek ß maakt met het vlak waarop de grootste hoofdspanning σ_max (in dit geval σ_h ́) werkt, dat wil zeggen met het verticale vlak. Dienovereenkomstig geldt:

Hieruit kan worden afgeleid dat:

Beide laatstgenoemde uitdrukkingen kunnen ook worden geschreven als:

σ_h ́ = K_a σ_v ́ - 2c ́√K_a en σ_h ́= K_p σ_v ́ + 2c ́ √K_p

Daarin representeert c’ de effectieve cohesie en stellen K_a en K_p de coëfficiënten van actieve respectievelijk passieve gronddruk voor.

In figuur 3.15a zijn de actieve respectievelijk passieve grondspanningstoestanden weergegeven, die optreden wanneer vanuit een beginsituatie (spanningstoestand I) met een verticale hoofdspanning σ_v′ en een horizontale hoofdspanning σ_h′ een buitenwaarts respectievelijk binnenwaarts gerichte horizontale vervorming optreedt door verkleining respectievelijk vergroting van de horizontale spanning bij gelijkblijvende verticale spanning. In figuur 3.15b zijn de daarbij optredende passieve (spanningstoestand II) respectievelijk actieve (spanningstoestand III) kritieke glijvlakken ingetekend.

De coëfficiënten K_a en K_p zijn beide functies van de hoek van inwendige wrijving en kunnen ook worden geschreven als:

Indien de cohesie, zoals gewoonlijk is bij zand en grind, wordt verwaarloosd, ligt K zodanig tussen K_a en K_p, dat geldt:

• voor φ = 30°: 0,33 < K < 3
• voor φ = 40°: 0,17 < K < 5,8
• voor φ = 50°: 0,13 < K < 7,5

De neutrale gronddruk, die optreedt bij afwezigheid van zijdelingse verplaatsing, blijkt in de praktijk meestal tussen 0,5 en 1 te liggen. In de literatuur hanteert men in veel gevallen de empirische correlatie volgens Jaky [1944]:

K_o = 1 - sin φ

Voor losgepakt zand of grind wordt vaak een K_o-waarde van circa 0,6 aangehouden; voor dichtgepakt zand van circa 0,4. Voor klei wordt meestal een waarde van K_o = 0,9 à 1,0 gehanteerd.

In figuur 3.16 zijn de correlaties tussen achtereenvolgens E, E_oed, E_t, B en E_v als functies van ν en soms van K uitgezet. Voorts is in figuur 3.17 de verhouding tussen de elasticiteitsmodulus E en de diverse andere moduli uitgezet als functie van de dwarscontractiecoëfficiënt ν en de spanningsverhouding K = σ_h ́/σ_v ́.

Uit de curven van figuur 3.14 blijkt tevens dat de grond in alle gevallen, behalve bij de normale oedometerproef en de alzijdige-samendrukkingsproef, bezwijkverschijnselen vertoont. Naarmate de zijdelingse steun groter is, zal bezwijken optreden bij hogere spanningen. De grootte van de daarbij optredende vervormingen is sterk afhankelijk van de grondsoort.