Verticale drainage

Deze tekst is gepubliceerd op 04-12-13

I. Axiaalsymmetrische consolidatie

1 Inleiding
Deze bijlage betreft de evaluatie van de horizontale, axiaalsymmetrische cconsolidatie. Daartoe wordt allereerst een aantal berekeningsmethoden cop hun basishypothesen vergeleken en belicht aan de hand van enige cparameterstudies. Vervolgens wordt rekenmethodiek aanbevolen.

2 Overzicht berekeningsmethoden op basis van hun hypothesen
Bij de analytische berekeningsmethoden waarmee het horizontale, axiaalsymmetrische verticale-drainagesysteem kan worden beschreven, kunnen een tweetal basistheorieen worden onderscheiden. Bij de eerste theorie, volgens Terzaghi/Rendulic (1935) wordt uitgegaan van de hypothese dat de verticale vervorming vrij kan optreden.
De oplossing volgens deze methode luidt:

waarin J₀(m_i.d/2), J₁(m_i.D/2) en U₁(m_i.d/2) Besselfuncties zijn.
Verder geldt hierin:
D: = equivalente drainafstand [m]
d: = (equivalente) draindiameter [m]
c_h: = horizontale consolidatiecoëfficiënt [m²/s]

De tweede theorie, volgens Barron/Kjellman, is gebaseerd op de hypothese dat de horizontale doorsneden horizontaal blijven: de verticale vervorming is dus uniform. In dat geval geldt de volgende oplossing voor de gemiddelde consolidatiegraad:

waarin:

D = equivalente drainafstand [m]
d = (equivalente) draindiameter [m]
n =D/d
ch = horizontale consolidatiecoëfficiënt [m²/s]

Naast deze fundamenteel verschillende basishypothesen bezitten beide theorieen een aantal gemeenschappelijke hypothesen:

ideale waterafvoer via de drain: geen stromingsweerstanden in de drain;
geen smeerzone: geen verstoorde grond rond de drain;
de belasting wordt ineens aangebracht: er wordt geen rekening gehouden met de tijd die nodig is om de ophoging te kunnen aanbrengen;
een enkele homogene laag met constante eigenschappen waaronder ook de laagdikte, onafhankelijk van plaats en tijd;
de wet van Darcy (v=k.i) is geldig: er heerst laminaire stroming in de grond;
de wateroverspanning, U₀ is gelijk aan de bovenbelasting q₀: er wordt geen rekening gehouden dat de maximaal optredende wateroverspanning dikwijls lager is als gevolg van de afstroming tijdens de ophoogfase;
de grond is volledig met water verzadigd: alle porien zijn gevuld met water, er is geen lucht of ander gas aanwezig;
geen secundaire effecten: er wordt geen rekening gehouden met secundaire invloeden van kruip op de consoldatie en omgekeerd;
axiaal-symmetrie: de door het drainstramien bepaalde ruit- of honingraatvormige grondkolommen rond de drain worden beschouwd als cilinders met de drain als as.

Figuur I-1 toont het verschil tussen de oplossingen volgens de beide theorieen. Het blijkt dat in de beginfase - van belang bij gevaar voor stabiliteit - met name bij een kleine D/d-verhouding sprake is van een duidelijk verschil tussen beide oplossingen. In de eindfase die van belang is voor het bepalen van de consolidatietijd, stemmen beide oplossingen redelijk met elkaar overeen. Fysisch gezien lijkt de basishypothese van Barron/Kjellman dichter bij de werkelijkheid.
Beide oplossingen zijn echter gebaseerd op zeer sterke schematisatie van de werkelijkheid. Daardoor corresponderen theorie en praktijk niet altijd met elkaar hetgeen mede aanleiding geweest voor een groot aantal modificaties op deze hypothesen. Een overzicht hiervan is in tabel I-1 gegeven.
Naast dit op analytische oplossingsmethoden gebaseerd overzicht bestaan er ook oplossingsmethoden die gebaseerd zijn op nummerieke methoden, zoals eindige elementen en eindige differenties. De basishypothesen van Terzaghi/Rendulic en Barron/Kjellman kunnen bij deze oplossingsmethoden weliswaar beter en uitgebreider worden gemodificeerd, doch blijven in zekere zin altijd een beperkt model van de werkelijkheid.

Figuur I-1. Vergelijking vrije en uniforme vervorming

3 Evaluatie
Ten aanzien van de verschillende hypothesen en hun modificaties kan het volgende onderscheid worden gemaakt, waarbij de aard van schematisatie centraal staat:

hypothesen met betrekking tot de grondgesteldheid;
hypothesen met betrekking tot de belasting;
hypothesen met betrekking tot de drain.

Grondgesteldheid
In het basisconcept volgens zowel Terzaghi/Rendulic als Barron/Kjellman is de grond geschematiseerd als een enkele, homogene laag waarin voor de grondwaterstroming de wet van Darcy geldt. Samenhangend met deze homogeniteit zijn zowel de doorlatendheids- als samendrukkingscoëfficiënten als constanten aangenomen. Bovendien is de grond volledig met water verzadigd, dus initieel niet samen te drukken en treedt er geen seculair effect of kruip op. In werkelijkheid is de grondgesteldheid in het algemeen sterk inhomogeen, zowel met betrekking tot de geometrie (gelaagdheid, enz.) als met betrekking tot de eigenschappen per onderscheiden laag (hoedanigheid van de grondlagen, grondparameters, enz.)
Bovendien zijn de verschillende eigenschappen per laag sterk afhankelijk van de spanningstoestand waaronder zo’n laag verkeert. Deze zal onder invloed van de consolidatie gedurende het proces veranderen. Hierdoor zullen ook de verschillende eigenschappen in de loop van het consolidatieproces veranderen.
Het motief voor een betere afstemming van de schematisatie van de grondgestelheid op de werkelijkheid, wordt echter beperkt door de volgende factoren:

de praktische mogelijkheid om de in de werkelijkheid optredende inhomogeniteit van de grond te determineren;
de theoretische mogelijkheden om een verfijnde determinatie van de werkelijkheid in de berekening in te voeren;
de kosten/batenanalyse, mede in relatie tot het risico op gevolgschade, om een duurdere determinatie van de grondgesteldheid te kunnen verantwoorden.

De laagopbouw van de ondergrond wordt vastgesteld door middel van plaatselijke metingen. Dit kan gebeuren door middel van sonderingen met plaatselijke kleefmeting, wel of niet aangevuld met waterspanningssonderingen alsmede met behulp van boringen.
Afhankelijk van de methode waarmee en de hoeveelheid metingen per oppervlak kan een meer of minder gedetailleerd beeld worden verkregen van de ruimtelijke opbouw en als zodanig dus meer of minder gedetailleerd worden geschematiseerd. De grondparameters van de verschillende te onderscheiden lagen worden in het algemeen vastgesteld met behulp van laboratoriumproeven op grondmonsters die uit een beperkt aantal boringen zijn genomen. Daarbij worden de parameters in het algemeen bij meer belastingsstappen bepaald. De betekenis van de hierbij verkregen waarden voor de grondparameters blijft met betrekking tot het ruimtelijk inzicht beperkt tot enkele punten binnen de tijdsruimtelijke inhomogene grondslag, waarbij met name de gemiddelde uitgangssituatie de basis vormt. Door de wijze waarop in de praktijk de grondparameters als globale gemiddelden worden bepaald, is het weinig zinvol op de verschillende modificaties ten aanzien van dit aspect van de schematisatie in te gaan. Dit wordt met name bevestigd door het feit dat deze modificaties ieder voor zich slechts betrekking hebben op een enkel deelaspect van de schematisatie.
In tegenstelling hiermee kan ten aanzien van het geometrisch aspect van de schematisatie de grondgesteldheid wel worden geschematiseerd in meer lagen. Door binnen zo’n meerlagensysteem elke te onderscheiden laag als homogeen te beschouwen, kan de horizontale consolidatie per laag worden gedifferentieerd.
Wanneer echter een geschematiseerde laag feitelijk bestaat uit een zeer sterk gelamineerde laag, is het noodzakelijk een gemiddelde karakterisering van deze laag te kunnen bepalen. Hiertoe heeft Rowe (1964) de hypothese van een enkele laag gemodificeerd tot een meerlagensysteem. De gemiddelde karakterisering die hij voor zo’n met zandlensjes gelamineerd meerlagensysteem vond, is:

met:
c_h gemiddelde horizontale consolidatiecoëfficiënt meerlagensysteem [m²/s]
c_v gemiddelde verticale consolidatiecoëfficiënt meerlagensysteem [m²/s]
k_hs horizontale doorlatendheidscoëfficiënt van zand [m/s]
k_hc horizontale doolatendheidscoëfficiënt van klei [m/s]
k_vs verticale doorlatendheidscoëfficiënt van zand [m/s]
k_vc verticale doolatendheidscoëfficiënt van klei [m/s]
H_s dikte van zandlaag [m]
H_c dikte van kleilaag [m]
m_vs samendrukkingscoëfficiënt van zand
m_vc samendrukkingscoëfficiënt van klei
N_c = chc/cvc
c_hc horizontale consolidatiecoëfficiënt van klei [m²/s]
c_vc verticale consolidatiecoëfficiënt van klei [m²/s]

In een parameterstudie door Vreeken (1982) wordt nader op dit fenomeen ingegaan.

Belasting
De belasting wordt in de praktijk in slagen aangebracht. Hierdoor kan de belastingstoename in zekere zin per ophoogslag als instantaan worden opgevat, doch anderzijds is zij als gevolg van het periodiek aanbrengen tevens als geleideijk te beschouwen. Samenhangend met deze geleidelijkheid zal gedurende de ophoogfase de grond reeds consolideren en zal de maximaal optredende wateroverspanning U0 altijd kleiner zijn dan overeenkomstig de bovenbelasting (U0<q). De mate waarin hangt af van de tijdsduur tussen de ophoogslagen in relatie tot de consolidatiesnelheid.
Omdat in het algemeen ernaar gestreefd wordt de totale ophoging in een zo kort mogelijke tijd gereed te hebben, zal dit fenomeen in het algemeen geen grote rol spelen. Alleen wanneer de periodieke ophoging langzaam plaatsvindt, kan dit fenomeen een rol gaan spelen.

Drain
In de beide basistheorieen wordt de drain aangenomen als een medium waarlangs het consolidatiewater weerstandsloos wordt getransporteerd. In werkelijkheid bezit de drain echter een intree- of filterweerstand en een doorstroomweerstand of afvoercapaciteit. Daardoor kan het watertransport worden vertraagd. Bovendien zal ten gevolge van het installeren een verstoorde zone rond de drain ontstaan, waar de waterdoorlatendheid geringer is dan in het niet verstoorde gebied. Zo’n verstoord gebied of smeerzone kan theoretisch min of meer als een extra (dik) filter met een geringere waterdoorlatendheid worden beschouwd.
Barron (1946) en Hansbo (1981) hebben beiden een en ander uitgewerkt. Omdat het echter zeer moeilijk tot onmogelijk is om de werkelijke omvang en mate van de in de praktijk optredende intree- en doorstroomweerstanden, alsmede de optredende verstoringen rond de drain te bepalen, zijn deze theoretische benaderingen uitsluitend interessant om via een parameterstudie inzicht te verkrijgen in de gevoeligheid van een verticale-drainagesysteem voor dit fenomeen.
In de hierna volgende parameterstudie (Schroor, 1988) wordt hierop nader ingegaan. Uit voorgaande blijkt dat gezien de mogelijkheden waarop de grondgesteldheid zich laat schematiseren, zowel geometrisch als grondparametrisch, het slechts in beperkte mate zin heeft de basishypothesen van Terzaghi/Rendulic en Barron/Kjellman te modificeren. Wel kan het in sommige gevallen zinvol zijn om door middel van een parameterstudie inzicht te krijgen in de gevoeligheid voor verschillende modificaties. In de volgende paragrafen wordt daarom een overzicht gegeven van enige relevante parameterstudies:

een studie door Vreeken en Van Duyn [1982] die met behulp van een nummeriek computermodel (eindige differenties) de invloed van de inhomogeniteit - dunne zandlensjes - hebben onderzocht;
een parameterstudie door Van der Graaf [1982] die met een nummeriek computermodel (eindige elementen) een beperkte studie heeft verricht naar de invloed van de drainafstand, draindiameter, smeer en afvoercapaciteit op de consolidatietijd;
een parameterstudie door Schroor [1988], waarin enerzijds een vergelijking wordt gemaakt tussen de twee analytische oplossingsmethoden met een beperkte afvoercapaciteit en anderzijds uitgaande van een van deze rekenmethoden, de invloed van de afvoercapaciteit in relatie tot de waterdoorlatendheid en de laagdikte wordt onderzocht.

Fig. I-2. Geometrische heterogeniteit, schematisch

4 Parameterstudie Vreeken en Van Duyn (1982)
In deze studie is de geometrische inhomogeniteit onderzocht in een kleilaag waarin eindige of oneindige zandlensjes voorkomen. In figuur I-2 is dit schematisch weergegeven. Andere termen die in deze studie worden gehanteerd en in de figuren zijn verwerkt, zijn:

n R/r_o
m aantal zandlensjes per m¹ laagdikte
c bij Rowe: effectieve consolidatiecoëfficient voor een heterogene laag bij Vreeken : gemiddelde consolidatiecoëfficient voor een hetrerogene laag, nader gedefinieerd als C/C_C = t’₅₀/t₅₀ ofwel de consolidatieratio
t₅₀ tijd, benodigd voor 50% consolidatie bij een homogene laag [s]
t’₅₀ tijd, benodigd voor 50% consolidatie bij een heterogene laag [s]

Figuur 1-3 geeft een aantal vergelijkingen tussen het numerieke model en de analytische oplossing volgens Rowe voor het geval dat de zandlensjes oneindig zijn (r_s/R = 1). Het betreft hjer een homogene kleilaag, dik 0,95 m met een k_c = 10^-8m/s, die aan weerszijden is ingesloten door een zandlaag, dik 0,05 m met een ks = 10^-6 m/s resp. k_s = 10^-5 m/s en k_s = 10^-4 m/s. De verhouding n = R/r_o = 30, tussen de verticale afvoercapaciteit van de drain en de horizontale, geeft aan dat d_equ = 0.065 m de D_equ = 1.95 m is. Hieruit blijkt dat de analytische oplossing volgens Rowe voor continu doorgaande zandlensjes redelijk met de numerieke oplossing overeenkomt. De resultaten van deze parameterstudie zijn in de figuren 1-4 en 1-5 weergegeven. Figuur 1-4 toont de gemiddelde consoldatieratio (C/C_C) als functie van de doorlatendheidsratio zand/klei (I +b/a) voor een verschi lIend aantal zandlagen per m¹ dikte (m = ∞, m = 2, m = 1 en m = 0,5) en voor verschillende equivalente stralen van de zandlensjes (r_s/ R = 0,17 resp. r/ R = 0,5 en r_s/ R = I)
In figuur 1-5 is de gemiddelde consolidatieratio (C/C_C) gegeven als functie van de equivalente lengte van de zandlensjes (r_s/R) bij verschi llende doorlatendheden en een verschillend aantal zandlaagjes per m¹ dikte.

Figuur I-3. Vergelijking Rowe (analitisch) en Vreeken (numeriek)

Figuur I-4. Consolidatieratio versus doorlatendheid

Figuur I-5. Consolidatieratio versus heterogeniteit

Uit deze figuren blijkt dat:

voor een kleine r_s/R verhouding (r_s/R ≤ 0,2) is de heterogeniteit te verwaarlozen. In dit geval kan het probleem analytisch als een homogene laag worden benaderd;
voor een grote r_s/R verhouding (r_s/ R > 0,8) is de optredende heterogeniteit te benaderen al zouden de zandlensje oneindig doorlopen, ofwel r_s/ R= 1.

Voor m ≥ 2 is het gebied binnen r = r_s zodanig opgebouwd dat zij min of meer als een homogene cilinder kan worden met een straal gelijk aan r_s. In dit geval kan het probleem eveneens analytisch worden beschouwd als een homogene laag waarbij d = d_s en n = D/d_s = R/r_s.

In de overige gevallen waarbij de heterogeniteit niet te verwaarlozen is, resteert slechts een numerieke oplossingsmethode. Tabel I-2 geeft een samenvatting van de resultaten van deze studie.
Blijkens deze parameterstudie is het in die gevallen waar sprake is van specifieke, heterogene en gelaagde omstandigheden gewenst om een numerieke methode te gebruiken.

5 Parameterstudie Van der Graaf (1982)
In deze studie wordt met name de theoretische achtergrond van een numeriek computermodel voor axiaalsymmetrische grondwatersromjng be chreven en vergeleken met analytische rekenmodellen. Hiemaast is een beperkte parameterstudie uitgevoerd.
Figuur I-6 is een voorbeeld van de toepassing van een verticale drain in een gelaagd grondstructuur en een gegeven afvoercapaciteit van de drain. Het resultaat is weergegeven in een drietal figuren met isohyp en (lijnen met gelijke stijghoogten) op de tjjdstappen van respectievelijk t = 7 dagen, t = 30 dagen en t = 180 dagen. Het resultaat illustreert onder meer de invloed van de in de drajn opgebouwde hydraulisch gradient op de consolidatie van de verschillende grondlagen.

Figuur I-6. Isophysen in een gelaagde grondstructuur

De feitelijke parameterstudie is samengevat in de figuren I-7 en I-8.
In figuur I-7 zijn de resultaten weergegeven van een parameterstudie voor een zanddrain met d = 0,30 m waarbij respectievelijk de invloed van de draindiameter (figuur I-7a), de afvoercapaciteit (figuur I-7b) en een smeerlaag (figuur I-7c) zijn onderzocht. In deze drie figuren geldt curve 4 als referentiecurve.
De resultaten van deze parameterstudie kunnen deels worden samengevat in figuur I-8 waarin de relatie (q_w/k_h) wordt uitgezet tegen de effectiviteit ten opzichte van een ideale, weerstandsloze drain. Hierin geeft (q_w/k_h) in wezen de relatie weer tussen de verticale afvoercapaciteit van de drain en de horizontale toestroomcapaciteit van de grond. Het blijkt dat tot een zekere grenswaarde geldt dat de effectiviteit groter wordt naarmate de afvoercapaciteit toeneemt.

Figuur I-7. Parameterstudie Van der Graaf

Figuur I-8. Overzicht resultaten studie Van der Graaf

Andere conclusies die uit deze studie en bij de hier onderzochte configuratie kunnen worden getrokken, zijn:

het effect van de smeerzone is geringer dan dat van de afvoercapaciteit;
de invloed van de afvoercapaciteit op de effectiviteit van de verticale drainage is groter dan die van de draindiameter.

6 Parameterstudie Schroor (1988)
In deze studie is onder meer de invloed van de afvoercapaciteit op de effectiviteit van een verticale-drainagesysteem onderzocht. Daartoe zijn allereerst de gemodificeerde theorie van Barron (1947) vergeleken met die van Hansbo (1981). Vervolgens is op grond van dit resultaat een parameterstudie uitgevoerd met behulp van de gemodificeerde theorie van Barron.
Het resultaat van de vergelijkende studie tussen Barron en Hansbo is weergegeven in de figuur I-9. Hierin zijn beide theorieen met elkaar vergeleken voor verschillende drainafstanden, laagdikten cq drainlengten alsmede voor verschillende kh/qw verhoudingen. Het blijkt dat wanneer q_w/k_h ≥10^-3 m^-2 is, de oplossingsresultaten van de beide theorieen sterk uiteen kunnen lopen, afhankelijk van de drainafstand of drainlengte.
Omdat de formule volgens Hansbo gezien moet worden als een vereenvoudiging van de formule van Barron, kan gesteld worden dat Hansbo voor die gevallen waarbij q_w/k_h ≥10^-3 m^-2 is, zijn doel voorbij geschoten is. Om deze reden is voor de parameterstudie gebruik gemaakt van de gemodificeerde theorie van Barron.
Figuur I-10 toont enige resultaten van deze studie. De effectiviteit van het verticaledrainagesysteem is hierbij steeds op de verticale as weergegeven door middel van de verhouding t/t_i [= consolidatietijd/consolidatietijd ideale drain]. Er is onderzocht welke invloed de drainafstand, de drainlengte en de verhouding q_w/k_h op de effectiviteit hebben.

Figuur I-9. Vergelijking Barron-Hansbo

Figuur I-10. Resultaten parameterstudie Schroor

Het blijkt dat wanneer k_h/q_w ≥ 10^-3 m^-2 wordt, de effectiviteit van een verticale-drainagesysteem aanzienlijk verslechtert, afhankelijk van de drainafstand en drainlengte. Tabel I-3 geeft aan hoe groot de afvoercapaciteit dient te zijn wil de drain als ideaal stromend, dus zonder weerstand, kunnen worden beschouwd.
Uit deze studie blijkt dat bij q_w/k_h ≥10^-3 m^-2 de drainweerstand een rol gaat spelen en de formule van Hansbo niet meer opgaat. Indien bij q_w/k_h ≥10^-3m² de drain als ideaal kan worden beschouwd, kan worden uitgegaan van de basistheorie van Barron/Kjellman.

7 Conclusie
Op grond van dit overzicht en de evaluatie van de hypothesen waarop de beschikbare rekenmethoden zijn gebaseerd, alsmede de drie parameterstudies, kan de volgende conclusie worden getrokken:

In het algemeen kan worden volstaan met de analytische rekenmethode van Barron/Kjellman. Naast het feit dat deze methode eenvoudig in het gebruik is, lijkt de basishypothese van Barron/Kjellman dat de verticale vervorming uniform is, een zeer reële veronderstelling.

Ook bij beperkte gelaagdheid kan deze analytische methode nog worden gebruikt door elke laag apart te beschouwen. Daarbij dient er goed op gelet te worden welke lagen wel en welke niet verticaal kunnen afstromen.
Verder geldt:

Alleen in specifieke gevallen waar de grondgesteldheid zeer sterk gelaagd of sterk heterogeen is, kan het zin hebben een numerieke rekenmethode te gebruiken, daar bij deze methode in het bijzonder de geometrische gedifferentieerdheid kan worden meegenomen.
Indien inzicht gewenst is in de invloed die de afvoercapaciteit en het smeereffect op het consolidatieproces hebben, kan dit afhankelijk van de grondgesteldheid worden verkregen met de door Barron gemodificeerde analytische rekenmethode of met een numeriek rekenmodel.
De effectiviteit van de afvoercapaciteit is in hoge mate afhankelijk van de waterdoorlatendheid van de grond. Daarnaast wordt zij beneden een zekere grens mede beinvloed door de lengte van de drain en in mindere mate door de drainafstand.