Verliestijd
Onder de verliestijd die een voertuig ten gevolge van een verkeerslichtenregeling ondervindt, wordt verstaan: het verschil tussen de reistijd van het voertuig als het ongehinderd het kruispunt zou kunnen passeren en de reistijd van het voertuig als het door een verkeerslichtenregeling wordt gehinderd. Onder de wachttijd van een voertuig wordt verstaan: de tijd dat het voertuig voor het verkeerslicht stilstaat (zie figuur 17-3). Dit betekent dat de verliestijd gelijk is aan de wachttijd vermeerderd met de verliestijden ten gevolge van het afremmen en weer optrekken van het voertuig.
[ link ]
Figuur 17-3. Relatie tussen wachttijd en verliestijd
Principe van wachttijden verliestijdbepaling
Figuur 17-4 toont het aantal voertuigen voor de stopstreep (uitgedrukt in pae’s) als functie van de tijd gedurende een cyclus. Tijdens de roodtijd neemt het aantal pae in de wachtrij toe en tijdens de effectieve groentijd neemt het aantal weer af. Aangenomen is dat de wachtrij is verdwenen voor het einde van de effectieve groentijd.
Figuur 17-4 toont het aantal voertuigen voor de stopstreep (uitgedrukt in pae’s) als functie van de tijd gedurende een cyclus. Tijdens de roodtijd neemt het aantal pae in de wachtrij toe en tijdens de effectieve groentijd neemt het aantal weer af. Aangenomen is dat de wachtrij is verdwenen voor het einde van de effectieve groentijd.
[ link ]
Figuur 17-4. Aantal pae in de wachtrij voor een verkeerslicht, als functie van de tijd
De wachttijd Wt gedurende een tijdsinterval t (zie figuur 17-4) is gelijk aan het product van het aantal pae Q(t) dat gedurende die periode staat te wachten en de lengte van het interval t.
[ link ]
Formule 17-1
Als er bijvoorbeeld 3 pae’s gedurende 7 seconden staan te wachten, dan wachten deze pae’s in totaal 3 × 7 = 21 seconden.
De waarde van Wt komt overeen met de oppervlakte van de gearceerde rechthoek in figuur 17-4. De totale wachttijd Wtot gedurende de cyclus is gelijk aan de oppervlakte onder de gehele grafiek van figuur 17-4. De gemiddelde wachttijd per pae is gelijk aan de totale wachttijd gedeeld door het totaalaantal pae dat tijdens de cyclustijd C de stopstreep is gepasseerd.
De grafiek van figuur 17-4 geeft het aantal pae weer dat in de wachtrij stilstaat; er is geen rekening gehouden met afrem- en optrekverliezen. De oppervlakte onder de figuur is daarom gelijk aan de totale wachttijd (en niet aan de totale verliestijd).
De gemiddelde verliestijd per pae wordt verkregen door bij de gemiddelde wachttijd de gemiddelde verliestijd ten gevolge van het afremmen en weer optrekken op te tellen.
Hierna worden modellen besproken waarmee de gemiddelde verliestijd kan worden berekend. Hoewel uit de afleiding van de formules de indruk kan ontstaan dat zij betrekking hebben op de gemiddelde wachttijd, mag op basis van literatuur [92, 30] worden aangenomen dat de resulterende formules de gemiddelde verliestijd betreffen.
Berekening van de verliestijd bij starre regelingen
Beckmann [95] heeft in 1956 als eerste, op basis van statistische verdelingen van het aankomst- en vertrekproces, een model afgeleid waarmee de verliestijden van star geregelde richtingen berekend kunnen worden. Omdat het moeilijk bleek om op deze wijze modellen te maken die breed toepasbaar en hanteerbaar zijn, zijn vervolgens schattingsmodellen ontwikkeld [93].
Webster [43] wordt algemeen beschouwd als de grondlegger van de schattingsmodellen voor verliestijden bij starre verkeerslichtenregelingen. Om die reden wordt hierna eerst aandacht besteed aan de verliestijdformule van Webster. Deze heeft wel als bezwaar dat hij niet bruikbaar is voor zwaarbelaste en overbelaste situaties. Door Akçelik is een verliestijdformule ontwikkeld waarvoor dat bezwaar niet geldt; daarom wordt vervolgens aandacht besteed aan de verliestijdformule van Akçelik [29]. Voor meer informatie over andere verliestijdformules wordt verwezen naar [30].
Verliestijdformule van Webster
Hoewel de verliestijdformule van Webster is bedoeld voor situaties waarin het verkeer volgens een Poisson-proces bij het verkeerslicht aankomt, wordt er bij de afleiding van de eerste term van de verliestijdformule van uitgegaan dat het verkeer uniform verdeeld over de tijd aankomt. Dit betekent dat het aantal aankomsten per tijdsinterval van 1 seconde steeds gelijk is (q pae/s). Tevens wordt er bij de afleiding van de eerste term van uitgegaan dat per cyclus nooit meer verkeer aankomt dan er verwerkt kan worden. Dit betekent dat aan het einde van de (effectieve) groenfase en dus ook aan het begin van de (effectieve) roodfase geen voertuigen voor het verkeerslicht staan te wachten. Omdat bij de afleiding van de eerste term van de verliestijdformule wordt uitgegaan van een uniform aankomstpatroon, wordt deze verliestijd de uniforme verliestijd genoemd.
Als het verkeer uniform verdeeld over de tijd aankomt en als er per cyclus niet meer verkeer aankomt dan verwerkt kan worden, dan ziet het aantal pae in de wachtrij als functie van de tijd eruit zoals in figuur 17-5 is weergegeven. Tijdens de roodfase groeit de wachtrij met q pae/s. Tijdens het groen vertrekken er s pae/s bij de stopstreep en komen er aan het einde van de wachtrij q pae/s bij, zodat het aantal pae in de wachtrij tijdens de groenfase per seconde afneemt met (s-q) pae. Voorgaande formule- ring betekent dat onder het aantal pae in de wachtrij wordt verstaan het aantal pae dat zich bevindt in het gebied tussen de stopstreep en het laatste stilstaande voertuig in de wachtrij (zie ook paragraaf 17.5.1.2).
[ link ]
Figuur 17-5. Aantal pae in de wachtrij voor een verkeerslicht, als functie van de tijd (uniforme aankomsten)
In figuur 17-5 en in de hierna volgende tekst is u gelijk aan de fractie van de cyclustijd waarin effectief groen wordt gegeven (zie paragraaf 8.4), zodat de effectieve groentijd Geff gelijk is aan u × C. Omdat de som van de effectieve roodtijd en de effectieve groentijd gelijk is aan de cyclustijd, is de effectieve roodtijd gelijk aan (1 - u) × C.
De totale verliestijd voor het verkeerslicht is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek (trapjeslijn); deze oppervlakte is bij benadering gelijk aan de oppervlakte onder de driehoek (stippellijn) in figuur 17-5. De oppervlakte van de ‘rode’ (eigenlijk rood gearceerde) driehoek is gelijk aan de totale verliestijd tijdens de effectieve roodtijd; de oppervlakte van de ‘groene’ (eigenlijk groen gearceerde) driehoek is gelijk aan de totale verliestijd tijdens de effectieve groentijd.
In de literatuur wordt voor het afleiden van een formule voor de verliestijd meestal niet gebruikgemaakt van een figuur zoals 17-5. Het is meer gebruikelijk in een figuur de aankomende voertuigen en de vertrekkende voertuigen apart weer te geven; zie figuur 17-6. Ook in deze figuur is het aantal pae in de wachtrij op elk moment af te lezen. De oppervlakte van de rode driehoek is gelijk aan de totale verliestijd tijdens de effectieve roodtijd; de oppervlakte van de groene driehoek is gelijk aan de totale verliestijd tijdens de effectieve groentijd.
[ link ]
Figuur 17-6. De totale verliestijd is gelijk aan de oppervlakte van de rode en de groene driehoek
Omdat gedurende de roodtijd elke seconde q pae aankomen en verondersteld wordt dat er aan het begin van de roodfase geen wachtrij staat, is het aantal pae in de wachtrij op het tijdstip startgroen gelijk aan q × C × (1 – u). Tijdens de effectieve groentijd neemt het aantal pae in de wachtrij per seconde af met (s – q); de benodigde tijd ta om de wachtrij af te breken, is daardoor gelijk aan:
[ link ]
Formule 17-2
Van de rode driehoek in figuur 17-6 zijn de basis en de hoogte gelijk aan respectievelijk (1 – u) × C en q × C × (1 – u). Van de groene driehoek zijn de basis en de hoogte gelijk aan respectievelijk q × C × (1 – u) en ta. Dit betekent dat de oppervlakten van de beide driehoeken kunnen worden berekend en daarmee de totale verliestijd. De totale uniforme verliestijd Vtot,uniform is nu gelijk aan:
[ link ]
Formule 17-3
waarin
Bij de afleiding van formule 17-3 is ervan uitgegaan dat het verkeer uniform verdeeld aankomt. In werkelijkheid komt het verkeer echter bij benadering volgens een Poisson-proces aan. Dit betekent dat het aantal voertuigen dat per cyclustijd aankomt, fluctueert. Zolang de fluctuaties niet tot gevolg hebben dat er per cyclus meer voertuigen aankomen dan er kunnen vertrekken, dan zullen de gevolgen van de fluctuaties op de verliestijd gering zijn; komen er echter meer voertuigen aan dan verwerkt kunnen worden, dan moeten een of meer voertuigen op de groenfase in de volgende cyclus wachten. Het effect hiervan op de verliestijd is niet meer te verwaarlozen. Volgens Webster moet de totale verliestijd daarom worden vermeerderd met:
| q | = | intensiteit (pae/s) |
| C | = | cyclustijd (s) |
| u | = | fractie van de cyclustijd waarin groen wordt gegeven (u = G eff /C; Geff = effectieve groentijd) |
| s | = | afrijcapaciteit (pae/s) |
| y | = | belastinggraad (= q/s) |
[ link ]
Formule 17-4
waarin
Deze verliestijd wordt de totale random verliestijd genoemd.
| C | = | cyclustijd (s) |
| x | = | verzadigingsgraad (zie formule 8-11) |
De totale verliestijd die de voertuigen van een richting als gevolg van de verkeerslichtenregeling ondervinden, is gelijk aan de som van de uniforme verliestijd en de random verliestijd:
[ link ]
Formule 17-5
De gemiddelde verliestijdV per voertuig is gelijk aan de totale verliestijd gedeeld door het aantal pae (q × C) dat per cyclus aankomt:
[ link ]
Formule 17-6
Uit formule 17-5 en formule 17-6 volgt:
[ link ]
Formule 17-7
In de praktijk blijkt deze formule een verliestijd te geven die wat aan de hoge kant is. Webster corrigeerde de formule voor de gemiddelde verliestijd daarom met een correctieterm:
[ link ]
Formule 17-8
Formule 17-8 staat bekend als de verliestijdformule van Webster. Omdat de derde term van de formule wat lastig te berekenen is, heeft Webster de formule vereenvoudigd tot de vereenvoudigde verliestijdformule van Webster, die er als volgt uitziet:
[ link ]
Formule 17-9
Voorbeeld 17-1
Van een geregelde rijstrook is voor een bepaald uur gegeven:
| intensiteit (l) | = | 270 pae(h) |
| capaciteit (K) | = | 1800 pae/h |
| cyclustijd(C) | = | 100 s |
| effectieve groentijd (G eff ) | = | 27 s |
Voor de gegeven situatie moet de gemiddelde verliestijd per pae worden berekend met de vereenvoudigde verliestijdformule van Webster (formule 17-9). Voor de berekening zijn nodig:
De gemiddelde verliestijd is nu gelijk aan:| u | = | 27/100 = 0,27 |
| q | = | 270/3600 = 0,075 |
| s | = | 1800/3600 = 0,5 |
| x | = | q/u × s= 0,075/(0,27 × 0,5) = 0,56 |
| y | = | 270/1800 = 0,15 |
Als nu de intensiteit van 270 pae/h wordt vervangen door een intensiteit van 450 pae/h, dan wordt:
De gemiddelde verliestijd is dan gelijk aan:
| q | = | 450/3600 = 0,125 |
| x | = | q/u × s= 0,125/(0,27 × 0,5) = 0,93 |
| y | = | 450/1800 = 0,25 |
Voorbeeld 17-1 laat duidelijk zien dat ten gevolge van een hogere intensiteit vooral de random verliestijd aanmerkelijk toeneemt.
[ link ]
Figuur 17-7. Gemiddelde verliestijd volgens Webster als functie van de verzadigingsgraad
In figuur 17-7 is de gemiddelde verliestijd volgens formule 17-9 weergegeven als functie van de verzadigingsgraad (x < 1).
In situaties waarin de verzadigingsgraad x nadert tot 1, nadert de verliestijd volgens de formule van Webster naar oneindig. Dit wordt veroorzaakt door de term (1 – x) in de noemer van de random verliestijd. In werkelijkheid kan de verliestijd natuurlijk niet naar oneindig naderen. De verliestijdformule van Webster mag daarom alleen gebruikt worden voor situaties waarin de verzadigingsgraad x aanmerkelijk kleiner is dan 1; geadviseerd wordt als maximum 0,8 aan te houden.
In figuur 17-7 is eveneens weergegeven hoe, voor een situatie waar gedurende een bepaalde tijd T sprake is van oververzadiging (x > 1), de gemiddelde verliestijd ten gevolge van die oververzadiging theoretisch verloopt als functie van de verzadigingsgraad [37]. Voor een verzadigingsgraad van 1 zou volgens de figuur de gemiddelde verliestijd ten gevolge van oververzadiging 0 seconden bedragen. Dit komt niet overeen met de praktijk, omdat bij een verzadigingsgraad van 1 (en ook bij verzadigingsgraden die wat kleiner zijn) gemiddeld gezien altijd enkele voertuigen in de wachtrij blijven staan na het einde van de groenfase. Dit betekent dat voor een verzadigingsgraad van 1 de gemiddelde verliestijd ten gevolge van oververzadiging groter is dan 0 seconden.
Uit het voorgaande blijkt dat voor het berekenen van verliestijden de verliestijdformule van Webster niet altijd voldoet en dat ook de verliestijd voor oververzadiging zoals weergegeven in figuur 17-7 niet voldoet. Akçelik [29] ontwikkelde een formule voor de gemiddelde verliestijd die aan deze tekortkomingen tegemoetkomt.
Verliestijdformule van Akçelik
De eerste term van de verliestijdformule van Akçelik (formule 17-12) komt overeen met de eerste term van de formule van Webster (uniforme verliestijd). In de formule van Akçelik is de tweede term gebaseerd op de zogenaamde overflow queue (N0). Dit is het aantal pae dat gemiddeld aan het einde van de groenfase nog voor de stopstreep blijft staan. De overflow queue (N0) wordt berekend met de formule:
[ link ]
Formule 17-10
[ link ]
Formule 17-11
De formule van Akçelik voor de gemiddelde verliestijd ziet er als volgt uit [29]:
[ link ]
Formule 17-12
De symbolen in de bovenstaande formules hebben de volgende betekenis:
| C | = | cyclustijd (s) |
| y | = | belastinggraad (= q/s) |
| q | = | intensiteit (pae/s) |
| s | = | afrijcapaciteit (pae/s) |
| u | = | deel van de cyclus waarin groen wordt gegeven (G eff /C) |
| Q | = | prestatie (= u × K) (pae/h) |
| T f | = | tijdsduur waarvoor de opgegeven intensiteit geldt (uren) |
| x | = | verzadigingsgraad (= y/u) |
| z | = | x – 1 |
| x o | = | verzadigingsgraad waaronder de overflow queue ongeveer 0 is |
| x o | = | 0,67 + s × G eff /600 |
| G eff | = | effectieve groentijd (s) |
Omdat de tweede term van de verliestijdformule van Akçelik is gebaseerd op de overflow queue, wordt de verliestijd volgens de tweede term ook wel de overflow verliestijd genoemd.
[ link ]
Figuur 17-8. Gemiddelde verliestijd als functie van de verzadigingsgraad volgens Webster en volgens Akcelik
Figuur 17-8 toont naast de gemiddelde verliestijd volgens Webster, ook de gemiddelde verliestijd volgens Akçelik als functie van de verzadigingsgraad. Uit de figuur blijkt dat voor hoge verzadigingsgraden (in de buurt van 1) aan de formule van Akçelik niet de bezwaren kleven als aan de verliestijdformule van Webster. Aanbevolen wordt daarom voor de berekening van de verliestijd de formule van Akçelik (formule 17-12) te gebruiken en niet de formule(s) van Webster (17-8 of 17-9).
Voor verzadigingsgraden waarbij N0 groter is dan 0, is de verliestijd afhankelijk van de tijdsduur Tf waarvoor de verliestijd wordt berekend.
Om deze reden wordt de verliestijdformule van Akçelik ook wel een tijdsafhankelijke verliestijdformule genoemd.
De verliestijdformule van Akçelik gaat ervan uit dat aan het begin van de periode Tf geen wachtrij voor het verkeerslicht staat. Voor formules die wel rekening houden met een initiële wachtrij, wordt verwezen naar [30].
In de tijd T komen in totaal q × T pae aan. Dit betekent dat de totale verliestijd die op een richting gedurende een tijd T wordt ondervonden, gelijk is aan:
[ link ]
Formule 17-13
Verliestijd voor lichtbelaste richtingen
Op geregelde richtingen voor bussen (met eigen rijstrook), fietsers en voetgangers zal de belastinggraad (y) vaak erg klein zijn. Bij de berekening van de gemiddelde verliestijd voor een star geregelde richting kan de waarde van y in de noemer van de eerste term van formule 17-12 dan gelijkgesteld worden aan 0. Als de belastinggraad van een richting erg klein is, zal ook de verzadigingsgraad (x), en daardoor de overflow queue No, meestal erg klein zijn. Hierdoor mag de tweede term van formule 17-12 gelijk worden gesteld aan 0. Als tot slot in de formule nog C × (1 – u) vervangen wordt door de (effectieve) roodtijd Reff (zie tekst bij figuur 17-5), dan volgt voor de gemiddelde verliestijd voor een licht belaste richting die met een starre regeling wordt geregeld:
[ link ]
Formule 17-14
Voorbeeld 17-2
Van een geregelde rijstrook is voor een bepaald uur gegeven:
Voor de gegeven situatie moet de gemiddelde verliestijd per voertuig worden berekend met de verliestijdformule van Akçelik. Aangenomen wordt dat de situatie 1 uur duurt (Tf = 1).
De overflow queue N0 wordt berekend met formule 17-10; voor de berekening van N0 zijn nodig:
Voor de gegeven situatie is x < x0, zodat N0 = 0 (zie formule 17-11).
| intensiteit (l) | = | 270 pae(h) |
| capaciteit (K) | = | 1800 pae/h |
| cyclustijd(C) | = | 100 s |
| effectieve groentijd (G eff ) | = | 27 s |
De overflow queue N0 wordt berekend met formule 17-10; voor de berekening van N0 zijn nodig:
| T f | = | 1 uur |
| u | = | 27/100 = 0,27 |
| Q | = | u × K= 0,27 × 1800 = 486 |
| q | = | 270/3600 = 0,075 |
| s | = | 1800/3600 = 0,5 s |
| x | = | q × C/u × C × s = (0,075 × 100)/(0,27 × 100 × 0,5) = 0,56 |
| z | = | x – 1 = 0,56 – 1 = -0,44 |
| x o | = | 0,67 + s × G eff /600 = 0,67 + 0,5 × 27/600 = 0,693 |
| y | = | 270/1800 = 0,15 |
Met formule 17-12 wordt de gemiddelde verliestijd berekend; deze is gelijk aan:
Als nu de intensiteit van 270 pae/h wordt vervangen door een intensiteit van 450 pae/h, dan wordt:
De overflow queue en de gemiddelde verliestijd zijn dan gelijk aan:
| q | = | 450/3600 = 0,125 |
| x | = | q/u × s = 0,125/(0,27 × 0,5) = 0,93 |
| y | = | 450/1800 = 0,25 |
| z | = | x – 1 = 0,93 – 1 = –0,07 |
Ook aan dit voorbeeld is duidelijk te zien dat ten gevolge van een hogere intensiteit de random verliestijd aanmerkelijk toeneemt. De toename is echter minder dan bij gebruik van de verliestijdformule van Webster (vergelijk voorbeeld 17-1).
Voor situaties waarin een lichtbelaste richting meer dan een groenfase per cyclus krijgt, kan worden afgeleid (zie verwijsblad 17-3) dat de gemiddelde verliestijd bij benadering gelijk is aan:
[ link ]
Formule 17-15
waarin
Wanneer een lichtbelaste richting twee of meer groenfasen in een cyclus krijgt, is de gemiddelde verliestijd het kleinst als alle roodtijden aan elkaar gelijk zijn (zie verwijsblad 17-3).
| R i,eff | = | effectieve duur van de ie roodtijd in de cyclus (s) |
| n | = | aantal roodfasen per cyclus (is gelijk aan het aantal groenfasen) |
| C | = | cyclustijd (s) |
Berekening van de verliestijd bij voertuigafhankelijke regelingen
Een kenmerk van een voertuigafhankelijke regeling is dat het verloop hiervan zich voortdurend aan het verkeersaanbod aanpast, waardoor de cyclustijd en de groentijden geen constante waarden hebben. Daardoor is het niet eenvoudig de verliestijd met een formule te berekenen.
De beste methode om van een voertuigafhankelijke regeling een ex-ante-evaluatie uit te voeren, is de regeling en de verkeersafwikkeling met een microscopisch simulatiemodel te evalueren (zie paragraaf 17.5.2). De simulatie is echter pas mogelijk als een goed werkend ontwerp van de voertuigafhankelijke regeling beschikbaar is. Als simulatie van de voertuigafhankelijke regeling niet mogelijk is, kan met de methode die in deze paragraaf is beschreven een globale schatting worden gemaakt van de verliestijd.
Uit onderzoek blijkt dat op geïsoleerde kruispunten de verliestijden bij toepassing van een voertuigafhankelijke regeling kleiner zijn dan bij toepassing van een starre regeling. Dit is verklaarbaar, omdat bij een voertuigafhankelijke regeling de lengten van de groenfasen continu worden afgestemd op de hoeveelheid verkeer. Wanneer de groentijden niet worden beperkt door de maximumgroentijden en wanneer de groentijden niet meeverlengen met andere richtingen, zijn de groentijden altijd (precies) voldoende lang om het aangeboden verkeer te verwerken. De cyclustijd is dan in principe gelijk aan de minimale cyclustijd. Doordat in elke cyclus de groentijden voldoende lang zijn om het verkeer weg te werken, is de overflow queue N0 op elke richting dan 0 pae, waardoor de random verliestijd gelijk is aan 0 seconden (zie formule 17-12).
Naarmate het kruispunt zwaarder wordt belast, worden de rood- en groentijden langer en wordt de lengte van de groentijden steeds vaker bepaald door de ingestelde maximumgroentijden. Hierdoor wordt de waarde van N0 steeds vaker groter dan 0, waardoor ook de random verliestijd groter wordt.
Vanwege het hiervoor beschreven gedrag van een voertuigafhankelijke regeling, beveelt Akçelik [29] aan, op basis van onderzoek door Courage en Papapanou [94], de verliestijden voor een voertuigafhankelijk geregeld kruispunt te schatten met formule 17-12.
Voor het schatten van de verliestijd worden dan twee starre regelingen ontworpen:
- een starre regeling met een cyclustijd die is berekend met de formule voor de minimale cyclustijd (formule 17-16);[ link ]
Formule 17-16
waarinVoor de betekenis van de begrippen maatgevende en kritische conflictgroep wordt verwezen naar hoofdstuk 10.T v= interne verliestijd van de maatgevende of kritische conflictgroep (s) Y = belasting van de maatgevende of kritische conflictgroep - een starre regeling met een cyclustijd en groentijden die overeenkomen met de cyclustijd en groentijden van de voertuigafhankelijke regeling waarbij alle groentijden gelijk zijn aan de maximumgroentijd.
- De uniforme verliestijd van de voertuigafhankelijke regeling is gelijk aan de uniforme verliestijd van de starre regeling met de minimale cyclustijd.
- De random verliestijd van de voertuigafhankelijke regeling is gelijk aan de random verliestijd van de starre regeling die is gebaseerd op de maximumgroentijden.
Op basis van ervaringen bij het Groene Golf Team wordt aanbevolen bij het gebruik van de methode nog de volgende aanvullende richtlijnen te hanteren [44]:
Er kunnen uiteraard ook richtingen voorkomen die niet iedere cyclus groen worden, maar wel vaker dan in 10 procent van de cycli. Om bij de schatting van de verliestijd rekening te houdenmet het feit dat deze richtingen vaak worden overgeslagen, kunnen deze richtingen in het ontwerp van de beide starre regelingen buiten beschouwing worden gelaten en kunnen daarnaast aparte starre regelingen worden ontworpen waarin deze richtingen wel groen krijgen. Aldus worden meerdere starre regelingen ontworpen die elk overeenkomen met de verschillende situaties die zich kunnen voordoen. De uiteindelijke verliestijden per richting worden dan bepaald door de verliestijden van de verschillende regelingen naar rato te middelen.
- Pas de methode alleen toe voor kruispuntbelastingen die zo groot zijn dat de maatgevende richtingen elke cyclus groen krijgen.
Toelichting: bij lagere belastingen worden richtingen te vaak overgeslagen, waardoor de starre regeling niet meer model kan staan voor de voertuigafhankelijke regeling. - Laat richtingen waarvoor op basis van de intensiteiten mag worden aangenomen dat ze in minder dan 10 procent van de cycli groen krijgen, bij het ontwerpen van de starre regeling buiten beschouwing (zie ook opmerking 1 na deze opsomming). Dit is toegestaan omdat een incidentele realisatie van deze richtingen in de voertuigafhankelijke regeling geen grote gevolgen heeft voor de totale verkeersafwikkeling op het kruispunt. Ga bij het invullen van het fasediagram als volgt te werk:
- Geef de richtingen, binnen de periode waarin ze groen kunnen zijn, zo vroeg mogelijk groen. - Zorg er bij het ontwerp van de regeling met minimale cyclustijd voor dat de verzadigingsgraden per richting gelijk zijn aan 1 (hier wordt in eerste instantie automatisch aan voldaan door gebruik van cyclustijdformule 17-16). Voor richtingen waarop het afrijden inefficiënt verloopt, wordt de groentijd zo lang gemaakt dat de verzadigingsgraad gelijk is aan 0,9. Voor richtingen die voldoende hebben aan vastgroen, wordt de groentijd niet groter gemaakt dan de vastgroentijd. - Houd rekening met coördinaties (zoals fiets-voetgangerskoppelingen bij deeloversteken). - Fiets- en voetgangersrichtingen die niet mogen meeverlengen, krijgen in eerste instantie niet meer dan vastgroen; van drukke fiets- en voetgangersrichtingen waarvan het groen verlengd kan worden, wordt de groentijd overeenkomstig de verwachte groenverlenging aangepast. - Laat richtingen die in de voertuigafhankelijke regeling mogen meeverlengen, ook in de starre regeling meeverlengen (tenzij door het meeverlengen de versnelde of extra realisatie van een andere richting onmogelijk wordt). Van de richtingen die meeverlengen, mogen de verzadigingsgraden uiteraard kleiner zijn dan de hiervoor vermelde waarden. - Als de evaluatie een operationele regeling betreft, dan kunnen bijzonderheden die zich in de praktijk voordoen in de starre regeling worden verwerkt. Denk bijvoorbeeld aan defecte detectoren waardoor een groenfase niet wordt verlengd of juist tot maximumgroen wordt verlengd.
Er kunnen uiteraard ook richtingen voorkomen die niet iedere cyclus groen worden, maar wel vaker dan in 10 procent van de cycli. Om bij de schatting van de verliestijd rekening te houdenmet het feit dat deze richtingen vaak worden overgeslagen, kunnen deze richtingen in het ontwerp van de beide starre regelingen buiten beschouwing worden gelaten en kunnen daarnaast aparte starre regelingen worden ontworpen waarin deze richtingen wel groen krijgen. Aldus worden meerdere starre regelingen ontworpen die elk overeenkomen met de verschillende situaties die zich kunnen voordoen. De uiteindelijke verliestijden per richting worden dan bepaald door de verliestijden van de verschillende regelingen naar rato te middelen.
Opmerking 2
Voorzichtigheid is geboden bij het schatten van verliestijden met de hiervoor beschreven methode. Het is onvoldoende bekend wat het effect is van het toepassen van bijvoorbeeld wachtgroen en van regelingen met speciale voorzieningen voor doelgroepen. Nader onderzoek naar deze toepassingsmogelijkheden is daarom gewenst.
Voorzichtigheid is geboden bij het schatten van verliestijden met de hiervoor beschreven methode. Het is onvoldoende bekend wat het effect is van het toepassen van bijvoorbeeld wachtgroen en van regelingen met speciale voorzieningen voor doelgroepen. Nader onderzoek naar deze toepassingsmogelijkheden is daarom gewenst.
Concluderend kan gesteld worden dat de methode die hiervoor is beschreven waarschijnlijk niet meer dan een ruwe schatting van de verliestijden oplevert. Het voordeel van de methode is echter dat de verkeerskundige snel een indruk kan krijgen van de verliestijden bij voertuigafhankelijke regelingen.
In de Highway Capacity Manual [30] is ook een methode beschreven om de verliestijden voor voertuigafhankelijke regelingen te schatten. Deze methode is echter omslachtiger dan de hiervoor beschreven methode.
Gemiddelde verliestijd voor lichtbelaste richtingen
In paragraaf 17.5.1.1 is onder het kopje ‘Berekening van de verliestijd bij starre regelingen’ aangetoond dat de gemiddelde verliestijd voor lichtbelaste richtingen bij toepassing van starre regelingen kan worden berekend met formule 17-15. Doordat de verliestijd in feite alleen wordt berekend met de (vereenvoudigde) eerste term van formule 17-12 (uniforme verliestijd), is impliciet aangenomen dat het verkeer uniform verdeeld over de tijd aankomt (zie afleiding formule 17-3). Dit betekent dat er rekening mee wordt gehouden dat er cycli kunnen voorkomen waarin geen verkeer aankomt en er dus onnodig groen wordt gegeven.
Voorbeeld 17-3
In dit voorbeeld wordt voor richting 2 van een geïsoleerd kruispunt de gemiddelde verliestijd berekend voor twee situaties: eerst voor de situatie waarin het kruispunt met een optimale starre regeling wordt geregeld en vervolgens voor de situatie waarin het kruispunt voertuigafhankelijk wordt geregeld. In de voertuigafhankelijke regeling zijn de maximumgroentijden gelijk aan 1,2 maal de groentijden die behoren bij de optimale starre regeling (zie paragraaf 13.2.4.1).
Van het kruispunt is gegeven dat de maatgevende (of kritieke) conflictgroep uit de richtingen 2, 5 en 9 bestaat. In de voertuigafhankelijke regeling wordt geen gebruikgemaakt van wachtgroen en komen geen bijzondere ingrepen voor.
Voorts is nog gegeven dat:
De cyclustijd van de optimale starre regeling wordt berekend met formule 10-10.
De conflictbelasting Y is gelijk aan y2 + y5 + y9 = 600/1800 + 300/1800 + 250 / 1800 = 0,64.
De interne verliestijd Tv is 14 seconden (gegeven). Hieruit volgt dat de optimale cyclustijd gelijk is aan 72 seconden. De totale tijd om te verdelen over de groentijden voor de richtingen 2, 5 en 9 is gelijk aan 72 – 14 = 58 seconden. De effectieve groentijden worden evenredig aan de belastinggraden over de richtingen verdeeld, zodat de effectieve groentijden (en ook de werkelijke groentijden) voor de richtingen 2, 5 en 9 gelijk zijn aan achtereenvolgens 30, 15 en 13 seconden.
Van het kruispunt is gegeven dat de maatgevende (of kritieke) conflictgroep uit de richtingen 2, 5 en 9 bestaat. In de voertuigafhankelijke regeling wordt geen gebruikgemaakt van wachtgroen en komen geen bijzondere ingrepen voor.
Voorts is nog gegeven dat:
- alle afrijcapaciteiten (K) gelijk zijn aan 1800 pae/h;
- de intensiteiten (I) van de richtingen 2, 5 en 9 gelijk zijn aan achtereenvolgens 600, 300 en 250 pae/h;
- de interne verliestijd (Tv) gelijk is aan 14 s;
- de effectieve groentijden (Geff) gelijk zijn aan de werkelijke groentijden;
- de beschreven situatie 1 uur duurt (Tf = 1).
De cyclustijd van de optimale starre regeling wordt berekend met formule 10-10.
De conflictbelasting Y is gelijk aan y2 + y5 + y9 = 600/1800 + 300/1800 + 250 / 1800 = 0,64.
De interne verliestijd Tv is 14 seconden (gegeven). Hieruit volgt dat de optimale cyclustijd gelijk is aan 72 seconden. De totale tijd om te verdelen over de groentijden voor de richtingen 2, 5 en 9 is gelijk aan 72 – 14 = 58 seconden. De effectieve groentijden worden evenredig aan de belastinggraden over de richtingen verdeeld, zodat de effectieve groentijden (en ook de werkelijke groentijden) voor de richtingen 2, 5 en 9 gelijk zijn aan achtereenvolgens 30, 15 en 13 seconden.
Berekening gemiddelde verliestijd op richting 2 bij optimale starre regeling
Voor richting 2 wordt N0 berekend met formule 17-10 en de gemiddelde verliestijd vervolgens met formule 17-12.
Voor het invullen van de formules geldt:
Voor richting 2 wordt N0 berekend met formule 17-10 en de gemiddelde verliestijd vervolgens met formule 17-12.
Voor het invullen van de formules geldt:
| T f | = | 1 uur (gegeven) |
| u | = | 30 / 72 = 0,42 |
| Q | = | u × K = 0,42 × 1800 = 756 |
| q | = | 600 / 3600 = 0,167 |
| s | = | 1800 / 3600 = 0,5 |
| x | = | q/u.s = 0,167 / (0,42 × 0,5) = 0,80 |
| z | = | x – 1 = 0,80 – 1 = –0,2 |
| x 0 | = | 0,67 + s × G eff / 600 = 0,67 + 0,5 × 36 / 600 = 0,695 |
| y | = | 600 / 1800 = 0,33 |
Berekening gemiddelde verliestijd op richting 2 bij voertuigafhankelijke regeling
De gemiddelde verliestijd wordt berekend met formule 17-12.
De eerste term van de formule wordt berekend op basis van een starre regeling waarvan de (minimale) cyclustijd berekend is met formule 17-16. Deze cyclustijd is gelijk aan 14 / (1 – 0,64) = 39 seconden. De beschikbare effectieve groentijd is gelijk aan 39 – 14 = 25 seconden. Deze tijd wordt evenredig aan de belastinggraden over de richtingen verdeeld, zodat de effectieve groentijden (en ook de werkelijke groentijden) voor de richtingen 2, 5 en 9 gelijk zijn aan achtereenvolgens 13, 7 en 5 seconden. De uniforme verliestijd is nu gelijk aan:
De gemiddelde verliestijd wordt berekend met formule 17-12.
De eerste term van de formule wordt berekend op basis van een starre regeling waarvan de (minimale) cyclustijd berekend is met formule 17-16. Deze cyclustijd is gelijk aan 14 / (1 – 0,64) = 39 seconden. De beschikbare effectieve groentijd is gelijk aan 39 – 14 = 25 seconden. Deze tijd wordt evenredig aan de belastinggraden over de richtingen verdeeld, zodat de effectieve groentijden (en ook de werkelijke groentijden) voor de richtingen 2, 5 en 9 gelijk zijn aan achtereenvolgens 13, 7 en 5 seconden. De uniforme verliestijd is nu gelijk aan:
De tweede term van de formule wordt berekend op basis van een starre regeling met een cyclustijd en groentijden die overeenkomen met de cyclustijd en groentijden van een voertuigafhankelijke regeling waarbij de groentijden gelijk zijn aan de maximumgroentijden. De maximale cyclustijd van de voertuigafhankelijke regeling is gelijk aan Tv + 1,2 (som groentijden van optimale regeling) = 14 + 1,2 (30 + 15 + 13) = 84 seconden.
Eerst wordt N0 berekend met formule 17-10:
| T f | = | 1 uur (gegeven) |
| u | = | (1,2 × 30) / 84 = 36 / 84 = 0,43 |
| Q | = | u × K = 0,43 × 1800 = 774 |
| q | = | 600 / 3600 = 0,167 |
| s | = | 1800 / 3600 = 0,5 |
| x | = | q × C / u × C × s = (0,167 × 84) / (0,43 × 84 × 0,5) = 0,78 |
| z | = | x – 1 = 0,78 – 1 = –0,22 |
| x 0 | = | 0,67 + s × G eff / 600 = 0,67 + 0,5 × 36 / 600 = 0,7 |
| y | = | 600 / 1800 = 0,33 |
De random verliestijd is dan gelijk aan 0,4 3 0,78 / 0,167 = 2 seconden.
De gemiddelde verliestijd bedraagt: 13 + 2 = 15 seconden.
De gemiddelde verliestijd bedraagt: 13 + 2 = 15 seconden.
Bij toepassing van een voertuigafhankelijke regeling krijgt een lichtbelaste richting vaak alleen groen op aanvraag. Indien dit het geval is, worden geen onnodige groentijden gegeven. Daarnaast kan de groentijd van een lichtbelaste richting door toepassing van meeverlenggroen soms veel langer zijn dan noodzakelijk is.
Het voorgaande betekent dat de gemiddelde verliestijd van een lichtbelaste richting die voertuigafhankelijk wordt geregeld, niet zonder meer kan worden berekend met een formule als formule 17-15.
Gemiddelde verliestijd berekend over alle voertuigen op een kruispunt
In de praktijk wil een verkeerskundige vaak de kwaliteit van een verkeerslichtenregeling uitdrukken in een enkel getal. Een bruikbare grootheid daarvoor is de gemiddelde verliestijd per pae, berekend over alle richtingen van het kruispunt. Deze gemiddelde verliestijd wordt voor een tijdsperiode van T seconden als volgt berekend.
Voorbeeld 17-4
Stel dat voor het geregelde kruispunt van figuur 17-9 de gemiddelde verliestijden van de richtingen tijdens het ochtendspitsuur gelijk zijn aan:
V2 = 18 s
V3 = 29 s
V5 = 27 s
V8 = 19 s
V9 = 24 s
V11 = 25 s
V2 = 18 s
V3 = 29 s
V5 = 27 s
V8 = 19 s
V9 = 24 s
V11 = 25 s
De gemiddelde verliestijd per voertuig, berekend over alle richtingen van het kruispunt, is dan voor dat uur gelijk aan:
[ link ]
Figuur 17-9. Kruispunt voor verliestijdberekening van voorbeeld 17-4
Let op: Het is rekenkundig gezien onjuist de gemiddelde verliestijd per voertuig op het kruispunt te berekenen door de gemiddelde verliestijden van de afzonderlijke richtingen rekenkundig te middelen. Deze onjuiste berekening zou in voorbeeld 17-4 tot een gemiddelde verliestijd van 24 seconden leiden; deze waarde is circa 10 procent groter dan de correct berekende gemiddelde verliestijd.
Bepaal allereerst voor elke richting i de totale verliestijd Vtotaal T,i voor de periode T (door de gemiddelde verliestijd te vermenigvuldigen met de intensiteit IT,i op richting i in de periode T; zie ook formule 17-13). Bepaal vervolgens de totale verliestijd op het hele kruispunt door de totale verliestijd van alle richtingen te sommeren. Door deze totale verliestijd tot slot te delen door de totale intensiteit in de periode T op alle richtingen samen, volgt voor de gemiddelde verliestijd per pae:
[ link ]
Formule 17-17
Gemiddeld aantal pae in de wachtrij; verliestijd uitgedrukt in pae 3 uren/uur
Een grootheid die in de praktijk vaak wordt gebruikt om de kwaliteit van een regeling in een getal uit te drukken, is het gemiddeld aantal pae dat op een richting of op een kruispunt gedurende een bepaalde tijdsperiode T in de wachtrij staat. Dit aantal pae wordt voor een richting i berekend door de totale verliestijd voor die richting in de periode T te delen door de tijdsduur T van de periode (zie opmerking in kader). Voor het gemiddeld aantal pae in de wachtrij (Qi) op richting i geldt dan:
[ link ]
Formule 17-18
Kijken met kennersoog
Naast het evalueren van de regeling door middel van metingen, berekeningen en/of simulaties, is het belangrijk de geregelde situatie periodiek ‘met een kennersoog’ te observeren. Hierdoor houdt de verkeerskundige voeling met de praktische situatie en kunnen vaak evidente tekortkomingen van de regeling worden vastgesteld. Het is echter een misverstand te denken dat de verkeersafwikkeling of de veiligheid van een geregelde situatie kan worden beoordeeld door uitsluitend ‘een poosje op straat te kijken’.
Hierin is Vtotaal T,i gelijk aan de totale verliestijd op richting i gedurende een tijd T (zie formule 17-13). Voor de tijd T wordt vaak de cyclustijd C genomen.
Opmerking
De bewering dat het gemiddeld aantal pae in de wachtrij voor een richting i wordt berekend door de totale verliestijd voor die richting te delen door de tijdsduur van de periode, is niet helemaal correct, omdat eigenlijk de totale wachttijd door de tijdsduur gedeeld moet worden. Omdat er geen formule is gegeven voor de berekening van de totale wachttijd en omdat het verschil tussen de totale wachttijd en de totale verliestijd gering is, wordt de incorrectheid van de definitie van het gemiddeld aantal pae in de wachtrij acceptabel geacht. Het gevolg is dat het gemiddeld aantal pae in de wachtrij, zoals berekend met formule 17-19 en formule 17-20, enigszins is overschat.
Als bijvoorbeeld op de richtingen 2 en 5 van een geregeld kruispunt het gemiddeld aantal pae in de wachtrij gelijk is aan respectievelijk 8 en 3 pae, dan staan er op beide richtingen samen gemiddeld 11 pae in de wachtrij. Dit betekent dat het gemiddeld aantal pae in de wachtrij op een heel kruispunt eenvoudig kan worden berekend door de gemiddelde wachtrijen van alle richtingen te sommeren.
Uit formule 17-6 en formule 17-18 volgt het verband tussen de gemiddelde verliestijd Vi en het gemiddeld aantal pae in de wachtrij (Qi) voor een geregelde richting (met intensiteit qi):
[ link ]
Formule 17-19
Het gemiddeld aantal pae in de wachtrij op een kruispunt is dan gelijk aan:
[ link ]
Formule 17-20
waarin
N = aantal geregelde richtingen op het kruispunt
N = aantal geregelde richtingen op het kruispunt
Het gemiddeld aantal pae in de wachtrij is een directe maat voor de totale verliestijd; door namelijk het gemiddeld aantal pae in de wachtrij te vermenigvuldigen met de tijd (uren), ontstaat de totale verliestijd (pae × uren). Om deze reden wordt in sommige simulatieprogramma’s de verliestijd uitgedrukt in het gemiddeld aantal pae in de wachtrij. De dimensie van de verliestijd wordt dan uitgedrukt in pae × uren/uur (= totale verliestijd (pae × uren) / tijd (uren)).